справочник по высшей математике. выгодский м.я.- книгу скачать.
М.: ACT: Астрель, 2006. — 991с. Справочник включает весь материал, входящий в программу основного курса математики высших учебных заведений. Детальная рубрикация и подробный предметный указатель позволяют быстро получать необходимую информацию. Книга окажет неоценимую помощь студентам, инженерам и научным работникам. Формат: djvu / rar Размер: 7,9 Мб Скачать: В Учебный центр СОДЕРЖАНИЕ Аналитическая геометрия на плоскости §1. Понятие о предмете аналитической геометрии............................................... 19 §2. Координаты................................................................................................................... 20 §3. Прямоугольная система координат...................................................................... 20 §4. Прямоугольные координаты.................................................................................. 21 §5. Координатные углы................................................................................................... 22 §6. Косоугольная система координат......................................................................... 23 §7. Уравнение линии......................................................................................................... 24 §8. Взаимное расположение линии и точки............................................................. 25 §9. Взаимное расположение двух линий................................................................... 26 § 10. Расстояние между двумя точками........................................................................ 27 §11. Деление отрезка в данном отношении................................................................. 27 § 11а. Деление отрезка пополам...................................................................................... 28 § 12. Определитель второго порядка............................................................................. 29 § 13. Площадь треугольника............................................................................................. 29 § 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с угловым коэффициентом)............................................................. 30 § 15. Прямая, параллельная оси........................................................................................ 32 § 16. Общее уравнение прямой......................................................................................... 33 § 17. Построение прямой по ее уравнению.................................................................. 34 §18. Условие параллельности прямых........................................................................... 35 § 19. Пересечение прямых.................................................................................................. 37 § 20. Условие перпендикулярности двух прямых...................................................... 38 §21. Угол между двумя прямыми.................................................................................... 39 § 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой........................................................................................................................... 42 § 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки............................................ 43 § 24. Пучок прямых............................................................................................................... 44 §25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.................................................................... 46 § 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой....................................................................... 47 §27. Взаимное расположение прямой и пары точек................................................ 48 § 28. Расстояние от точки до прямой............................................................................. 49 § 29. Полярные параметры прямой................................................................................. 50 § 30. Нормальное уравнение прямой......................................................................... 52 §31. Приведение уравнения прямой к нормальному виду................................. 53 § 32. Отрезки на осях........................................................................................................ 54 § 33. Уравнение прямой в отрезках............................................................................. 55 § 34. Преобразование координат (постановка вопроса)..................................... 56 § 35. Перенос начала координат.................................................................................. 57 § 36. Поворот осей............................................................................................................ 58 §37. Алгебраические линии и их порядок................................................................ 60 § 38. Окружность............................................................................................................... 61 § 39. Нахождение центра и радиуса окружности.................................................. 63 § 40. Эллипс как сжатая окружность.......................................................................... 64 § 41. Другое определение эллипса.............................................................................. 66 § 42. Построение эллипса по его осям....................................................................... 69 § 43. Гипербола.................................................................................................................. 70 § 44. Форма гиперболы; вершины и оси................................................................... 72 § 45. Построение гиперболы по ее осям................................................................... 74 § 46. Асимптоты гиперболы.......................................................................................... 74 § 47. Сопряженные гиперболы..................................................................................... 76 § 48. Парабола.................................................................................................................... 76 § 49. Построение параболы по данному параметру р......................................... 78 § 50. Парабола как график уравнения у = ах2 + Ъх + с.......................................... 78 § 51. Директрисы эллипса и гиперболы.................................................................... 82 § 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы.............................. 83 § 53. Конические сечения............................................................................................... 86 § 54. Диаметры конического сечения......................................................................... 87 § 55. Диаметры эллипса.................................................................................................. 88 § 56. Диаметры гиперболы............................................................................................ 89 § 57. Диаметры параболы............................................................................................... 92 § 58. Линии второго порядка........................................................................................ 93 § 59. Запись общего уравнения второй степени..................................................... 95 § 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания. . . 95 §61. Предварительное преобразование уравнения второй степени . . 96 § 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени. . . 99 § 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени........................................................................................................ 105 § 64. Признак распадения линий второго порядка............................................... 106 § 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка....................................................................................... 108 § 66. Инварианты уравнения второй степени.......................................................... 111 § 67. Три типа линий второго порядка....................................................................... 114 § 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка .... 117 § 69. Нахождение центра центральной линии второго порядка. . . 118 § 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка. . . 120 §71. Равносторонняя гипербола как график уравнения у = - ... 122 §72. Равносторонняя гипербола как график уравнения = тх + п................................................................................................................ 123 px + q § 73. Полярные координаты......................................................................................... 126 §74. Связь между полярными и прямоугольными координатами. . 128 §75. Архимедова спираль............................................................................................. 131 §76. Полярное уравнение прямой............................................................................. 133 §77. Полярное уравнение конического сечения.................................................. 134 Аналитическая геометрия в пространстве §78. Понятие о векторах и скалярах.......................................................................... 135 §79. Вектор в геометрии................................................................................................ 135 §80. Векторная алгебра.................................................................................................. 136 §81. Коллинеарные векторы........................................................................................ 136 §82. Нуль-вектор.............................................................................................................. 137 §83. Равенство векторов................................................................................................ 137 §84. Приведение векторов к общему началу......................................................... 138 §85. Противоположные векторы............................................................................... 138 §86. Сложение векторов................................................................................................ 139 §87. Сумма нескольких векторов................................................................................ 141 §88. Вычитание векторов.............................................................................................. 142 §89. Умножение и деление вектора на число........................................................ 144 §90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор)................................................................................................................ 145 §91. Проекция точки на ось.......................................................................................... 146 §92. Проекция вектора на ось...................................................................................... 146 §93. Основные теоремы о проекциях вектора........................................................ 149 §94. Прямоугольная система координат в пространстве.................................. 151 §95. Координаты точки................................................................................................. 152 §96. Координаты вектора.............................................................................................. 153 §97. Выражения вектора через компоненты и через координаты............................................................................................................ 155 §98. Действия над векторами, заданными своими координатами........................................................................................................ 155 §99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца..................................................................................................................... 156 § 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками.................................... 157 § 101. Угол между осью координат и вектором..................................................... 157 § 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов............................. 158 §103. Деление отрезка в данном отношении............................................................ 159 § 104. Скалярное произведение двух векторов........................................................ 160 § 104а. Физический смысл скалярного произведения.......................................... 161 § 105. Свойства скалярного произведения................................................................ 162 § 106. Скалярные произведения основных векторов............................................. 164 § 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей...................................................................................................... 164 § 108. Условие перпендикулярности векторов........................................................ 165 § 109. Угол между векторами....................................................................................... 166 § 110. Правая и левая системы трех векторов.......................................................... 166 §111. Векторное произведение двух векторов........................................................ 168 § 112. Свойства векторного произведения............................................................... 170 § 113. Векторные произведения основных векторов............................................ 172 § 114. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей...................................................................................................... 173 §115. Компланарные векторы....................................................................................... 175 § 116. Смешанное произведение.................................................................................. 175 §117. Свойства смешанного произведения.............................................................. 177 § 118. Определитель третьего порядка...................................................................... 178 § 119. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей...................................................................................................... 180 § 120. Признак компланарности в координатной форме................................... 181 § 121. Объем параллелепипеда.................................................................................... 181 § 122. Двойное векторное произведение.................................................................. 182 § 123. Уравнение плоскости.......................................................................................... 183 §124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат............................................................................................. 184 § 125. Условие параллельности плоскостей............................................................ 185 §126. Условие перпендикулярности плоскостей................................................... 186 § 127. Угол между двумя плоскостями..................................................................... 187 § 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости............................................................................................... 187 § 129. Плоскость, проходящая через три точки..................................................... 188 § 130. Отрезки на осях...................................................................................................... 188 §131. Уравнение плоскости в отрезках...................................................................... 189 § 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости............................................................................................... 190 § 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно двум плоскостям............................................................. 190 § 134. Точка пересечения трех плоскостей............................................................... 191 §135. Взаимное расположение плоскости и пары точек..................................... 193 § 136. Расстояние от точки до плоскости................................................................. 193 § 137. Полярные параметры плоскости..................................................................... 194 § 138. Нормальное уравнение плоскости................................................................. 196 § 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду . . . 197 § 140. Уравнения прямой в пространстве.................................................................. 199 §141. Условие, при котором два уравнения первой степени представляют прямую....................................................................................... 201 § 142. Пересечение прямой с плоскостью................................................................ 202 § 143. Направляющий вектор........................................................................................ 204 § 144. Углы между прямой и осями координат...................................................... 205 § 145. Угол между двумя прямыми............................................................................ 206 § 146. Угол между прямой и плоскостью................................................................ 207 § 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости........................................................................................................... 207 § 148. Пучок плоскостей................................................................................................. 208 § 149. Проекции прямой на координатные плоскости......................................... 210 § 150. Симметричные уравнения прямой.................................................................. 212 § 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду. . . . 214 § 152. Параметрические уравнения прямой............................................................. 215 §153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически.................................................................................................... 216 §154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки . . 217 § 155. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой................................................................. 217 § 156. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости........................................................... 218 §157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую................................................................................................ 218 § 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым........................................................ 219 § 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой..................................................... 220 § 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости..................................................... 220 §161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.............................................................................................. 221 § 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.............................................................................................. 223 §163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости............................................................................................... 224 §164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым.................................................................................................................... 226 § 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми........................................ 228 § 165а. Правые и левые пары прямых.......................................................................... 230 § 166. Преобразование координат............................................................................... 232 § 167. Уравнение поверхности....................................................................................... 233 § 168. Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат....................................................... 234 § 169. Уравнения линии.................................................................................................... 236 § 170. Проекция линии на координатную плоскость............................................ 237 §171. Алгебраические поверхности и их порядок.................................................. 239 § 172. Сфера.......................................................................................................................... 240 § 173. Эллипсоид................................................................................................................ 241 § 174. Однополостный гиперболоид.......................................................................... 244 § 175. Двуполостный гиперболоид............................................................................. 246 § 176. Конус второго порядка........................................................................................ 248 § 177. Эллиптический параболоид.............................................................................. 250 § 178. Гиперболический параболоид.......................................................................... 252 §179. Перечень поверхностей второго порядка...................................................... 254 § 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.................................................................................................................... 257 § 181. Поверхности вращения....................................................................................... 258 § 182. Определители второго и третьего порядков.............................................. 259 § 183. Определители высших порядков..................................................................... 263 § 184. Свойства определителей.................................................................................... 265 § 185. Практический прием вычисления определителей.................................... 269 § 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений............................................................................................. 271 § 187. Два уравнения с двумя неизвестными............................................................ 272 § 188. Два уравнения с тремя неизвестными............................................................ 274 § 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными....................................................................................................... 276 § 190. Три уравнения с тремя неизвестными............................................................ 278 § 190а. Система п уравнений с п неизвестными...................................................... 282 Основные понятия математического анализа § 191. Вводные замечания.............................................................................................. 285 § 192. Рациональные числа............................................................................................ 286 § 193. Действительные (вещественные) числа......................................................... 286 § 194. Числовая ось........................................................................................................... 288 § 195. Переменные и постоянные величины............................................................ 289 § 196. Функция................................................................................................................... 289 §197. Способы задания функции................................................................................. 291 § 198. Область определения функции....................................................................... 294 § 199. Промежуток........................................................................................................... 296 § 200. Классификация функций.................................................................................... 298 § 201. Основные элементарные функции................................................................. 299 § 202. Обозначение функции........................................................................................ 300 § 203. Предел последовательности............................................................................ 301 § 204. Предел функции.................................................................................................... 304 § 205. Определение предела функции....................................................................... 306 § 206. Предел постоянной величины......................................................................... 307 § 207. Бесконечно малая величина.............................................................................. 307 § 208. Бесконечно большая величина........................................................................ 308 § 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами........................................................................................................... 309 § 210. Ограниченные величины................................................................................... 309 §211. Расширение понятия предела........................................................................... 310 § 212. Основные свойства бесконечно малых величин........................................ 311 §213. Основные теоремы о пределах......................................................................... 312 §214. Число е...................................................................................................................... 314 § 215. Предел ^HLf при х - 0.......................................................................................... 316 § 216. Эквивалентные бесконечно малые величины............................................. 317 § 217. Сравнение бесконечно малых величин......................................................... 318 § 217а. Приращение переменной величины............................................................ 320 § 218. Непрерывность функции в точке..................................................................... 321 § 219. Свойства функций, непрерывных в точке..................................................... 322 § 219а. Односторонний предел; скачок функции................................................... 323 § 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке............................... 324 §221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке........................................................................................................... 325 Дифференциальное исчисление § 222. Вводные замечания............................................................................................... 327 § 223. Скорость................................................................................................................... 328 § 224. Определение производной функции.............................................................. 329 § 225. Касательная.............................................................................................................. 331 § 226. Производные некоторых простейших функций......................................... 332 § 227. Свойства производной........................................................................................ 334 § 228. Дифференциал........................................................................................................ 334 § 229. Механический смысл дифференциала........................................................... 336 § 230. Геометрический смысл дифференциала....................................................... 337 §231. Дифференцируемые функции............................................................................ 337 §232. Дифференциалы некоторых простейших функций.................................... 340 § 233. Свойства дифференциала................................................................................... 341 § 234. Инвариантность выражения f(x) dx................................................................. 341 § 235. Выражение производной через дифференциалы...................................... 342 § 236. Функция от функции (сложная функция)..................................................... 343 § 237. Дифференциал сложной функции.................................................................. 343 § 238. Производная сложной функции...................................................................... 344 § 239. Дифференцирование произведения................................................................ 346 § 240. Дифференцирование частного (дроби)......................................................... 347 §241. Обратная функция.................................................................................................. 348 § 242. Натуральные логарифмы................................................................................... 350 § 243. Дифференцирование логарифмической функции..................................... 352 § 244. Логарифмическое дифференцирование........................................................ 353 § 245. Дифференцирование показательной функции............................................ 355 § 246. Дифференцирование тригонометрических функций................................ 356 § 247. Дифференцирование обратных тригонометрических функций ................................................................................................................. 357 § 247а. Некоторые поучительные примеры.............................................................. 358 § 248. Дифференциал в приближенных вычислениях........................................... 361 § 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул .................................................................................................................. 363 § 250. Дифференцирование неявных функций......................................................... 365 §251. Параметрическое задание линии...................................................................... 368 § 252. Параметрическое задание функции................................................................ 370 § 253. Циклоида.................................................................................................................. 372 § 254. Уравнение касательной к плоской линии...................................................... 373 § 254а. Касательные к кривым второго порядка...................................................... 375 § 255. Уравнение нормали............................................................................................... 375 § 256. Производные высших порядков....................................................................... 376 § 257. Механический смысл второй производной.................................................. 378 § 258. Дифференциалы высших порядков.................................................................. 379 § 259. Выражение высших производных через дифференциалы . . 382 § 260. Высшие производные функций, заданных параметрически . . 383 §261. Высшие производные неявных функций........................................................ 384 § 262. Правило Лейбница............................................................................................... 385 § 263. Теорема Ролля....................................................................................................... 387 § 264. Теорема Лагранжа о среднем значении........................................................ 388 § 265. Формула конечных приращений..................................................................... 391 § 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши)................................... 393 § 267. Раскрытие неопределенности вида -........................................................... 395 § 268. Раскрытие неопределенности вида —........................................................... 399 § 269. Неопределенные выражения других видов................................................. 400 § 270. Исторические сведения о формуле Тейлора............................................... 402 § 271. Формула Тейлора................................................................................................. 407 § 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции ................................................................................................................. 409 § 273. Возрастание и убывание функции.................................................................. 418 §274. Признаки возрастания и убывания функции в точке................................. 419 § 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке........................................................................................................ 421 § 275. Максимум и минимум......................................................................................... 421 § 276. Необходимое условие максимума и минимума........................................ 423 § 277. Первое достаточное условие максимума и минимума........................... 424 § 278. Правило нахождения максимумов и минимумов..................................... 425 § 279. Второе достаточное условие максимума и минимума........................... 429 § 280. Нахсждение наибольшего и наименьшего значений функции.................................................................................................................. 431 §281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба.............................................. 439 § 282. Сторона вогнутости............................................................................................. 440 § 283. Правило для нахождения точек перегиба.................................................... 442 § 284. Асимптоты.............................................................................................................. 443 §285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям . . 444 § 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат............................ 446 § 287. Приемы построения графиков.......................................................................... 450 § 288. Решение уравнений. Общие замечания........................................................ 454 § 289. Решение уравнений. Способ хорд.................................................................. 456 § 290. Решение уравнений. Способ касательных................................................... 458 §291. Комбинированный метод хорд и касательных............................................ 461 Интегральное исчисление § 292. Вводные замечания.............................................................................................. 464 § 293. Первообразная функция..................................................................................... 466 § 294. Неопределенный интеграл................................................................................ 467 § 295. Геометрический смысл интегрирования...................................................... 470 § 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным.................................................................................................................... 472 §297. Свойства неопределенного интеграла............................................................ 474 § 298. Таблица интегралов.............................................................................................. 475 § 299. Непосредственное интегрирование................................................................ 477 § 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную)..................................................................... 478 § 301. Интегрирование по частям................................................................................ 483 § 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений............................................................................................................. 486 § 303. Тригонометрические подстановки.................................................................. 490 § 304. Рациональные функции....................................................................................... 491 § 304а. Исключение целой части.................................................................................. 492 § 305. О приемах интегрирования рациональных дробей................................... 493 § 306. Интегрирование простейших рациональных дробей............................... 494 § 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) . . 498 § 308. О разложении многочлена на множители................................................... 506 § 309. Об интегрируемости в элементарных функциях........................................ 507 § 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов......................................... 508 §311. Интеграл от биномиального дифференциала.............................................. 510 § 312. Интегралы вида | R(x, Jax2 + bx + c )dx.......................................................... 512 § 313. Интегралы вида f /?(sin jc, cos x) dx................................................................ 515 § 314. Определенный интеграл..................................................................................... 515 §315. Свойства определенного интеграла................................................................. 520 §316. Геометрический смысл определенного интеграла..................................... 522 § 317. Механический смысл определенного интеграла........................................ 523 § 318. Оценка определенного интеграла................................................................... 525 § 318а. Неравенство Буняковского............................................................................... 526 § 319. Теорема о среднем интегрального исчисления.......................................... 527 § 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела. . . 528 § 321. Дифференциал интеграла................................................................................... 531 § 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона—Лейбница . 532 § 323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного................................................................................................. 535 § 324. Определенное интегрирование по частям.................................................... 536 § 325. Способ подстановки в определенном интеграле....................................... 537 § 326. О несобственных интегралах............................................................................. 542 § 327. Интегралы с бесконечными пределами......................................................... 543 § 328. Интеграл функции, имеющей разрыв............................................................. 548 § 329. О приближенном вычислении интеграла..................................................... 552 § 330. Формулы прямоугольников.............................................................................. 555 §331. Формула трапеций................................................................................................. 557 § 332. Формула Симпсона (параболических трапеций)....................................... 558 § 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам.......................................................................................................... 560 § 334. Схема применения определенного интеграла............................................. 563 § 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам . . . 565 § 336. Объем тела по поперечным сечениям........................................................... 567 § 337. Объем тела вращения.......................................................................................... 569 § 338. Длина дуги плоской линии............................................................................... 570 § 339. Дифференциал дуги............................................................................................. 572 § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах . . 573§341. Площадь поверхности вращения...................................................................... 575 Основные сведения о плоских и пространственных линиях § 342. Кривизна.................................................................................................................. 577 § 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии........................................ 578 § 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии..................................................................................................... 580 § 345. Эволюта плоской линии..................................................................................... 583 § 346. Свойства эволюты плоской линии.................................................................. 585 § 347. Развертка (эвольвента) плоской линии......................................................... 586 § 348. Параметрическое задание пространственной линии............................... 587 § 349. Винтовая линия...................................................................................................... 589 § 350. Длина дуги пространственной линии........................................................... 591 § 351. Касательная к пространственной линии....................................................... 592 § 352. Нормальная плоскость........................................................................................ 594 § 353. Вектор-функция скалярного аргумента........................................................ 595 § 354. Предел вектор-функции..................................................................................... 596 § 355. Производная вектор-функции......................................................................... 597 §356. Дифференциал вектор-функции....................................................................... 599 § 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции . 600 § 358. Соприкасающаяся плоскость............................................................................ 602 § 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник....................................... 604 § 360. Взаимное расположение линии и плоскости............................................. 606 §361. Основные векторы сопутствующего трехгранника................................... 606 § 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии. . . 608 § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии................................................................................. 609 § 364. О знаке кривизны.................................................................................................. 612 § 365. Кручение................................................................................................................. 613 Ряды § 366. Вводные замечания.............................................................................................. 616 § 367. Определение ряда................................................................................................ 616 § 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды.................................................................. 618 § 369. Необходимое условие сходимости ряда...................................................... 619 § 370. Остаток ряда........................................................................................................... 622 § 371. Простейшие действия над рядами.................................................................. 623 § 372. Положительные ряды......................................................................................... 625 § 373. Сравнение положительных рядов................................................................... 625 §374. Признак Даламбера для положительного ряда.......................................... 628 § 375. Интегральный признак сходимости............................................................... 630 § 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница.................................................. 632 § 377. Абсолютная и условная сходимость.............................................................. 633 § 378. Признак Даламбера для произвольного ряда............................................. 635 § 379. Перестановка членов ряда.................................................................................. 636 § 380. Группировка членов ряда................................................................................... 637 § 381. Умножение рядов.................................................................................................. 639 § 382. Деление рядов......................................................................................................... 642 § 383. Функциональный ряд........................................................................................... 644 § 384. Область сходимости функционального ряда.............................................. 645 § 385. О равномерной и неравномерной сходимости........................................... 647 § 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости . . 650 § 387. Геометрический смысл равномерной и неравномерной сходимости......................................................................... 651 § 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды .... 652 § 389. Непрерывность суммы ряда.............................................................................. 653 § 390. Интегрирование рядов........................................................................................ 655 § 391. Дифференцирование рядов................................................................................ 659 § 392. Степенной ряд........................................................................................................ 660 § 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда............................... 661 § 394. Нахождение радиуса сходимости................................................................... 662 §395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х - х0........................................................................................................................... 664 § 396. Теорема Абеля........................................................................................................ 665 § 397. Действия со степенными рядами...................................................................... 666 § 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. . . 669 § 399. Ряд Тейлора............................................................................................................. 671 § 400. Разложение функции в степенной ряд........................................................... 673 §401. Разложение элементарных функций в степенные ряды . . . 675 § 402. Применение рядов к вычислению интегралов............................................ 680 § 403. Гиперболические функции................................................................................. 683 § 404. Обратные гиперболические функции............................................................ 686 § 405. Происхождение наименований гиперболических функций ................................................................................................................. 688 § 406. О комплексных числах......................................................................................... 689 § 407. Комплексная функция действительного аргумента.................................. 691 § 408. Производная комплексной функции.............................................................. 692 § 409. Возведение положительного числа в комплексную степень ................................................................................................................... 694 §410. Формула Эйлера..................................................................................................... 696 § 411. Тригонометрический ряд.................................................................................... 697 § 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах.............................. 697 §413. Ортогональность системы функций cos nx, sin nx...................................... 698 § 414. Формулы Эйлера—Фурье.................................................................................. 700 § 415. Ряд Фурье................................................................................................................. 703 § 416. Ряд Фурье для непрерывной функции........................................................... 704 §417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции.................................................. 708 § 418. Ряд Фурье для разрывной функции................................................................ 712 Дифференцирование и интегрирование функций нескольких аргументов § 419. Функция двух аргументов.................................................................................. 716 § 420. Функция трех и большего числа аргументов.............................................. 718 §421. Способы задания функций нескольких аргументов.................................. 718 §422. Предел функции нескольких аргументов...................................................... 722 § 423. О порядке малости функции нескольких аргументов.............................. 723 §424. Непрерывность функции нескольких аргументов...................................... 725 § 425. Частные производные......................................................................................... 726 § 426. Геометрический смысл частных производных для случая двух аргументов............................................................................ 727 § 427. Полное и частное приращения........................................................................ 728 § 428. Частный дифференциал..................................................................................... 729 § 429. О выражении частной производной через дифференциал . . 730 § 430. Полный дифференциал...................................................................................... 731 §431. Геометрический смысл полного дифференциала (случай двух аргументов)................................................................................ 733 §432. Инвариантность выражения f'x dx + f'y dy + f'2 dz полного дифференциала................................................................................. 734 § 433. Техника дифференцирования........................................................................... 735 § 434. Дифференцируемые функции.......................................................................... 736 § 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности..................................... 737 § 436. Уравнение касательной плоскости................................................................. 739 § 437. Уравнения нормали............................................................................................. 740 § 438. Дифференцирование сложной функции...................................................... 741 § 439. Замена прямоугольных координат полярными........................................ 742 § 440. Формулы для производных сложной функции........................................ 743 §441. Полная производная............................................................................................ 744 § 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных........................................................................................................... 745 § 443. Частные производные высших порядков...................................................... 748 § 444. Полные дифференциалы высших порядков................................................ 750 § 445. Техника повторного дифференцирования................................................... 753 § 446. Условное обозначение дифференциалов..................................................... 753 § 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов. . . 754 § 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов............................................................................................................ 757 § 449. Правило нахождения экстремума................................................................... 758 § 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов)........................................................................................................... 760 § 451. Двойной интеграл................................................................................................. 761 § 452. Геометрический смысл двойного интеграла.............................................. 763 § 453. Свойства двойного интеграла.......................................................................... 763 §454. Оценка двойного интеграла............................................................................... 764 §455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай). . . . 764 §456. Вычисление двойного интеграла (общий случай).................................... 768 § 457. Функция точки....................................................................................................... 772 § 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты............................................................................................................ 773 § 459. Площадь куска поверхности.............................................................................. 776 § 460. Тройной интеграл................................................................................................. 779 § 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай).... 780 § 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай).................................... 781 § 463. Цилиндрические координаты........................................................................... 783 § 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты............................................................................................................ 783 § 465. Сферические координаты................................................................................... 784 § 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты............................................................................................................ 785 § 467. Схема применения двойного и тройного интегралов.............................. 787 § 468. Момент инерции.................................................................................................... 788 § 469. Выражение некоторых физических и геометрических величин через двойные интегралы............................................................... 790 § 470. Выражение некоторых физических и геометрических величин через тройные интегралы............................................................... 792 §471. Криволинейный интеграл.................................................................................... 794 § 472. Механический смысл криволинейного интеграла..................................... 796 § 473. Вычисление криволинейного интеграла....................................................... 797 § 474. Формула Грина....................................................................................................... 799 § 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути............................................................................................... 799 § 476. Другая форма условия предыдущего параграфа....................................... 802 Дифференциальные уравнения § 477. Основные понятия................................................................................................. 805 § 478. Уравнение первого порядка............................................................................... 807 § 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка................................. 808 § 480. Изоклины.................................................................................................................. 811 § 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка .... 812 § 482. Уравнения с разделенными переменными.................................................... 814 § 483. Разделение переменных. Особое решение................................................... 815 § 484. Уравнение в полных дифференциалах............................................................ 817 § 484а. Интегрирующий множитель........................................................................... 818 § 485. Однородное уравнение....................................................................................... 819 § 486. Линейное уравнение первого порядка........................................................... 822 § 487. Уравнение Клеро.................................................................................................... 824 § 488. Огибающая............................................................................................................... 826 § 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений.............................. 828 § 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера................................................................................................ 829 §491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов........................................................................................................................ 831 § 492. О составлении дифференциальных уравнений........................................... 833 § 493. Уравнение второго порядка............................................................................... 837 § 494. Уравнение тг-го порядка..................................................................................... 840 § 495. Случаи понижения порядка.............................................................................. 840 § 496. Линейное уравнение второго порядка.......................................................... 842 § 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами................................................................................................. 844 § 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части............................................................... 845 § 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498............................................................... 849 § 499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью................................................................. 849 § 500. Линейные уравнения любого порядка.......................................................... 856 §501. Метод вариации постоянных............................................................................. 858 § 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы................................................................................................................... 860 Некоторые замечательные кривые § 503. Строфоида............................................................................................................... 862 § 504. Циссоида Диокла................................................................................................... 864 § 505. Декартов лист.......................................................................................................... 867 § 506. Верзьера Аньези.................................................................................................... 870 § 507. Конхоида Никомеда............................................................................................ 872 § 508. Улитка Паскаля; кардиоида.............................................................................. 878 § 509. Линия Кассини....................................................................................................... 884 §510. Лемниската Бернулли........................................................................................... 889 §511. Архимедова спираль............................................................................................. 892 § 512. Эвольвента (развертка) круга............................................................................ 896 § 513. Логарифмическая спираль................................................................................. 900 § 514. Циклоиды................................................................................................................ 907 § 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды....................................................................... 923 § 516. Трактриса................................................................................................................. 941 § 517. Цепная линия.......................................................................................................... 949 Таблицы I. Натуральные логарифмы........................................................................................ 955 И. Таблица для перехода от натуральных логарифмов к десятичным............................................................................................................... 959 III.Таблица для перехода от десятичных логарифмов к натуральным............................................................................................................ 959 IV.Таблица неопределенных интегралов................................................................ 960 Предметно-именной указатель..................................................................................... 971
----------------------------------------------
---------------------------------------------- | 