Экзамен по алгебре 9 класс, демо-версия 2007, решения заданий.- книгу скачать.
( Скачать, 73 Кб, doc/zip ) Решения заданий демонстрационной версии экзаменационной работы по алгебре 2007 г. Часть 1 Задания с выбором ответа Задание 1, часть 1. Для каждого выражения из первого столбца укажите равное ему выражение из второго столбца, вписав соответствующую букву в клетку таблицы: 1) а) b14 б) b12 2) (b4b3)2 в) b10 3) b4(b3)2 г) b9 Ответ: 1) 2) 3) б а в Задание 4, часть 1. Укажите выражение, которое имеет смысл при любых значениях переменной m. 1) 2) 3) 4) //Ответ: 4 //Решение. Выражение не содержит деления на переменную. Задание 5, часть 1. Автомобиль расходует a литров бензина на 100 км пути. Сколько литров бензина потребуется, чтобы проехать 37 км? 1) л 2) л 3) л 4) л //Ответ: 1 //Решение: Обозначим искомую величину буквой х. Имеем пропорцию . Другой способ: На 1 км пути расходуется л бензина, значит, на 37 км расходуется л бензина. Задание 6, часть 1. Расстояние от Венеры – одной из планет Солнечной системы, до Солнца равно 108 млн. км. Как эта величина записывается в стандартном виде? 1) 1,088729;106 км 2) 1,08∙107 км 3) 1,08∙108 км 4) 1,08∙109 км //Ответ: 3 //Решение: 108 млн. км =км = км. Задание 7, часть 1. Результаты районной контрольной работы по алгебре в 9 классе представили в виде диаграммы. Сколько учащихся получили отметку «2», если всего работу писали 320 девятиклассников? 1) 5 учащихся 2) 16 учащихся 3) 64 учащихся 4) 160 учащихся //Ответ: 2 //Решение: (уч.). Задание 8, часть 1. На рулоне обоев имеется надпись, гарантирующая, что его длина равна 10 ± 0,05 м. Какую длину не может иметь рулон при этом условии? 1) 10 м 2) 9,98 м 3) 10,04 м 4) 9,92 м //Ответ: 4 //Решение: l – длина обоев в рулоне, ; 9,92 > 9,95. Задание 9, часть 1. Какое из уравнений имеет два различных корня? 1) 2) 3) 4) //Ответ: 3 //Решение: 1)2)3) . Задание 11, часть 1. Из прямоугольного листа картона, размеры которого 56 см и 32 см, надо сделать коробку без крышки. Для этого по углам листа вырезают одинаковые квадраты и загибают края вверх. Чему должна быть равна сторона вырезаемого квадрата, чтобы дно коробки имело площадь 640 см2? Пусть сторона вырезаемого квадрата равна х см. Какое уравнение соответствует условию задачи? 1) (56 – х)(32 – х) = 640 2) 56∙(32 – 2х) = 640 3) (56 – 2х)(32 – 2х) = 640 4) 56∙32 – 4х2 = 640 //Ответ: 2 //Решение: Если х см – длина стороны вырезаемого квадрата, то дно коробки имеет размеры см и см. Площадь дна равна см2. Имеем уравнение: . Задание 13, часть 1. О числах а и с известно, что а < c. Какое из следующих неравенств неверно? 1) 3а < 3c 2) –2а < –2c 3) 4) 1 – а > 1 – с //Ответ:2 //Решение: Неравенство 3а < 3c - верно, неравенство –2а < –2c – неверно, так как если а < c, то –2а > –2c. Задание 14, часть 1. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – арифметическая прогрессия. Укажите ее. 1) 1; 2; 3; 5 ... 2) 1; 2; 4; 8 ... 3) 1; 3; 5; 7 ... 4) ... //Ответ:3 //Решение: В случае В имеем . Задание 15, часть 1. На рисунке изображен график квадратичной функции. Какая из перечисленных формул задает эту функцию? 1) у = 2) у = 3) у = 4) у = //Ответ:3 //Решение. Возможны различные способы рассуждения. Например, следующий. Так как ветви параболы направлены вверх, то она является графиком одной из двух функций – А или В. Графики обеих функций пересекают ось у в точке (0;–3), поэтому надо найти другой способ распознавания. Найдем нули функций. В случае А нулями функции являются числа –3 и 1, в случае В – числа 3 и –1. Следовательно, на рисунке изображен график функции у = . Выбрать из этих двух формул можно также непосредственной подстановкой в формулу абсцисс каких-либо точек графика, например, точек пересечения с осью х. Задание 16, часть 1. Рейсовый автобус проделал путь из города А в город В и после стоянки вернулся обратно. На рисунке изображен график его движения: по горизонтальной оси отложено время (в часах), а по вертикальной – расстояние по шоссе (в километрах), на котором находится автобус от города А. Какое из следующих утверждений неверно? 1) Расстояние между городами А и В по шоссе равно 180 км. 2) Скорость автобуса на пути из А в В была меньше, чем на обратном пути. 3) Стоянка в городе В длилась 2 ч. 4) На обратный путь автобус затратил на 1 ч больше, чем на путь из А в В. //Ответ: 2 //Решение: км/ч; км/ч; но 60 км/ч < 45 км/ч. Задания с кратким ответом. Задание 2, часть 1 Упростите выражение . Ответ: __________________ //Ответ: . Варианты ответа: ; . //Решение: . Задание 3, часть 1 Упростите выражение . Ответ:____________________ //Ответ: . Варианты ответа: 0,5. //Решение:. Задание 10, часть 1 Решите систему уравнений . Ответ: __________________ //Ответ: (3;1). Варианты ответа: ; //Решение: у = 1; х = 4у – 1 = 3. Задание 12, часть 1 Решите неравенство х – 1 ≤ 3х + 2. Ответ: _____________________ //Ответ: x ≥ –1,5. Варианты ответов: [–1,5; +∞); х [–1,5; +∞). //Решение: . Часть 2 Задания с развернутым ответом. Эти задания направлены на проверку овладения материалом курса на повышенных уровнях. Они выполняются на отдельном листе с записью хода решения. Условия заданий не переписываются, рисунки не перечерчиваются. Требования к выполнению заданий повышенного уровня заключаются в следующем: решение должно быть математически грамотным, содержать рассмотрение всех возможных случаев (если таковые имеются), из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Никаких специальных требований к подробности пояснений, оформлению решения не выдвигается. Общие критерии оценки заданий второй части экзаменационной работы таковы. За полное и правильное выполнение задания учащемуся засчитывается балл, указанный в тексте работы для этого задания. Если в решении допущена ошибка или описка, не влияющая на правильность общего хода решения (даже при неверном ответе) и позволяющая, несмотря на ее наличие, сделать вывод о владении материалом, то учащемуся засчитывается балл, на 1 меньший указанного. Другие случаи критериями не предусматриваются. Это объясняется трактовкой качественных свойств, на измерение которых направлена вторая часть работы: умение выполнять задания комплексного характера, способность к интеграции знаний из различных тем курса алгебры. Эти качества проявляются, только если учащийся обнаруживает умение решить задачу предложенного уровня и содержания. В описании критериев оценки выполнения конкретных заданий содержатся примеры ошибок/описок, позволяющих засчитать балл, на 1 меньший указанного. Эти примеры, однако, не исчерпывают всех возможных ошибок такого рода. При проверке работ предметной комиссии придется в ряде случаев принимать решение, как квалифицировать тот или иной недочет учащегося. Задание 1, часть 2 Постройте график функции . При каких значениях аргумента выполняется неравенство ? //Ответ: график изображен на рисунке. Неравенство выполняется при . //Решение. График функции – прямая. Найдем координаты точек пересечения этой прямой с осями координат: если х = 0, то у = 1,5; если у = 0, то х = 3. Точки пересечения с осями: (0; 1,5), (3; 0). По графику находим, что неравенство выполняется при . Другие возможные решения. График может быть построен по каким-либо другим точкам. Ответ на вопрос может быть получен решением двойного неравенства : , , . (Двойное неравенство может быть заменено системой двух линейных неравенств). Баллы Критерии оценки выполнения задания 2 Верно построен график и дан правильный ответ на вопрос. 1 При правильно построенном графике допущена ошибка при ответе на вопрос, или ответ на вопрос отсутствует. 0 Неверно построенный график и другие случаи, не соответствующие указанным критериям. Комментарий. При правильно построенном графике отсутствие ссылки на то, что график – прямая, или указания на рисунке координат точек графика не должны служить основанием для снижения выставляемого балла. Задание 2, часть 2 Упростите выражение . //Ответ: 4. //Решение. 1) Корни квадратного трехчлена m2 + m – 2: m1 = –2, m2 = 1. Значит, m2 + m – 2 = (m + 2)(m – 1). =. 2) . Другие возможные решения. Деление на дробь заменяется умножением на целое выражение и далее используется распределительное свойство: =. В ходе упрощения не использована возможность упрощения дроби : =. Кроме того, что не сокращена дробь , может быть не использована также возможность вынесения за скобки множителя m + 2 при преобразовании числителя. Баллы Критерии оценки выполнения задания 4 При выбранном способе решения все преобразования выполнены верно и получен верный ответ 3 Допущена одна ошибка: или при преобразовании числителя в ходе упрощения разности в скобках (при правильно найденном общем знаменателе), или неверно выполнено вынесение за скобки множителя в выражении (2m – 2)2, но с учетом полученного результата решение доведено до конца. 0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. Комментарий. Нерациональное решение при верно выполненных преобразованиях не может служить основанием для снижения балла. Задание 3, часть 2 Существует ли геометрическая прогрессия, в которой b2 = –6, b5 = 48 и b7 = 192? //Ответ: существует. //Решение. Если в геометрической прогрессии b2 = –6 и b5 = 48, то и q = –2. При этом условии b7 = b5∙ q2 = 48∙4 = 192, т.е. такая прогрессия существует. Другое возможное решение. Из системы уравнений находим, что b1 = 3, q = –2. Далее: b7 = b1∙ q6 = 3∙(–2)6 = 192. Возможны также некоторые вариации первого и второго способов. Например, для первого способа нахождение q из условий b5 = 48 и b7 = 192 и затем проверка условия b2 = –6. Баллы Критерии оценки выполнения задания 4 Правильно найден способ решения и получен верный ответ. 3 При правильном ходе решения и верном использовании формул допущена техническая ошибка в подсчетах (например, вычислительная, или ошибка в знаке), ответ дан с учетом полученного результата. 0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям Задание 4, часть 2. При каких положительных значениях к прямая у = kх – 7 пересекает параболу у = х2 + 2х – 3 в двух точках? //Ответ: при к < 6. //Решение. Если прямая у = kх – 7 пересекает параболу у = х2 + 2х – 3 в двух точках, то уравнение kх – 7 = х2 + 2х – 3 имеет два корня. После преобразований получим уравнение х2 + (2 – k)х + 4 = 0. Выясним, при каких k выполняется неравенство D < 0: D = (2 – k)2 – 16 = k2 – 4k – 12; k1 = –2, k2 = 6. Значит, D < 0 при k > –2 и k < 6. Учитывая условие k < 0, находим, что k < 6. Баллы Критерии оценки выполнения задания 6 Найден правильный способ решения, все его шаги выполнены верно, получен правильный ответ 5 Или допущена одна ошибка технического характера (при преобразовании уравнения, упрощении дискриминанта), но с учетом полученного результата решение доведено до конца, или не учтено условие к < 0. 0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. Комментарий. Ошибки при составлении дискриминанта квадратного уравнения, при решении квадратного неравенства (с учетом найденных корней) относятся к числу существенных. При их наличии решение не может быть засчитано. Задание 5, часть 2 Автомобиль едет сначала 2 минуты с горы, а затем 6 минут в гору. Обратный путь он проделывает за 13 минут. Во сколько раз скорость автомобиля при движении с горы больше, чем скорость при движении в гору? (Считайте, что скорость при движении с горы (в гору) одинакова в обоих направлениях). //Ответ: в 6 раз. //Решение. Пусть х км/мин – скорость автомобиля при движении с горы, а у км/мин – при движении в гору. Тогда на пути туда он едет 2х км с горы и 6у км в гору. Двигаясь в обратном направлении, на путь с горы он тратит мин, а на путь в гору мин. Получаем уравнение: . Введем замену . Имеем , т.е. . Корни уравнения: t1 = 6; t2 = ; t2 не подходит по смыслу, т.к. . Значит, . Другое возможное решение. При решении уравнения использована другая замена: . В этом случае далее решается уравнение , корни которого t1 = 2; t2 = ; t1 не подходит по смыслу, т.к. . Значит, , т.е. х в 6 раз больше у. Баллы Критерии оценки выполнения задания 6 Найден правильный путь решения, все его этапы выполнены верно, получен правильный ответ 5 При правильном ходе решения допущена одна из следующих ошибок: даны два ответа, т.е. не отброшен корень квадратного уравнения, не подходящий по смыслу; или при втором способе отброшен корень t2 и получен ответ: в 2 раза. 0 Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.
----------------------------------------------
---------------------------------------------- |