методы решения интегральных уравнений: справочник. манжиров а.в., полянин а.д.- книгу скачать.
М.: «Факториал», 1999.—272 с. В книге излагаются точные, приближенные аналитические и численные методы решения линейных и нелинейных интегральных уравнений. Помимо классических методов описаны также некоторые новые методы. Для лучшего понимания рассмотренных методов во всех разделах книги даны примеры решения конкретных уравнений. Приведены некоторые точные и асимптотические решения интегральных уравнений, встречающихся в приложениях (в механике и физике). Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, аспирантов и студентов, специализирующихся в различных областях прикладной математики, механики, физики, теории управления и инженерных наук. Формат: djvu / zip Размер: 1,8 Мб Скачать / Download файл 
ОглавлениеПредисловие 91. Основные определения и формулы. Интегральные преобразования 101.1. Предварительные замечания 101.1-1. Некоторые определения 101.1-2. Структура решений линейных интегральных уравнений 111.1-3. Интегральные преобразования 121.1-4. Вычеты. Формулы для вычислений 121.1-5. Лемма Жордана 131.2. Преобразование Лапласа 141.2-1. Определение. Формула обращения 141.2-2. Обращение рациональных функций 151.2-3. Теорема о свертке для преобразования Лапласа 151.2-4. Предельные теоремы 151.2-5. Основные свойства преобразования Лапласа 161.2-6. Формула Поста-Уиддера 161.3. Преобразование Меллина 171.3-1. Определение. Формула обращения 171.3-2. Основные свойства преобразования Меллина 171.3-3. Связь преобразований Меллина, Лапласа и Фурье 181.4. Преобразование Фурье 181.4-1. Определение. Формула обращения 181.4-2. Несимметричная форма преобразования 191.4-3. Альтернативное преобразование Фурье 191.4-4. Теорема о свертке для преобразования Фурье 201.5. Синус- и косинус-преобразования Фурье 201.5-1. Косинус-преобразование Фурье 201.5-2. Синус-преобразование Фурье 211.6. Другие интегральные преобразования 211.6-1. Преобразование Ханкеля 211.6-2. Преобразование Мейера 221.6-3. Преобразование Конторовича-Лебедева 221.6-4. У-преобразование и другие преобразования 222. Методы решения линейных уравнений вида ∫f£ K(x,t)y(t)dt = f(x) ... 252.1. Уравнения Вольтерра первого рода 252.1-1. Структура уравнений. Классы функций и ядер 252.1-2. Существование и единственность решения 262.2. Уравнения с вырожденным ядром: K(x,t) = g1(x)h1(t) + • • • 4- 9n(x)^n(^) 262.2-1. Уравнения с ядром K(x,t) = g1(x)h1(t) 4- #2(Ж)^2М 262.2-2. Уравнения с вырожденным ядром общего вида 272.3. Сведение уравнений Вольтерра первого рода к уравнениям Вольтерра второго рода 282.3-1. Первый способ 282.3-2. Второй способ 282.4. Уравнения с разностным ядром: К(х, t) = К(х — t) 292.4-1. Метод решения, основанный на преобразовании Лапласа 292.4-2. Случай рационального образа решения 302.4-3. Представление решения в виде композиции 302.4-4. Использование вспомогательного уравнения 312.4-5. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям 322.4-6. Связь уравнений Вольтерра и Винера-Хопфа 332.5. Метод дробного дифференцирования 332.5-1. Определение дробных интегралов 332.5-2. Определение дробных производных 342.5-3. Основные свойства 352.5-4. Решение обобщенного уравнения Абеля 352.6. Уравнения с ядрами, имеющими слабую особенность 362.6-1. Метод преобразования ядра 362.6-2. Ядро с логарифмической особенностью 372.7. Метод квадратур 382.7-1. Квадратурные формулы 382.7-2. Общая схема метода 392.7-3. Алгоритм на основе формулы трапеций 402.7-4. Алгоритм для уравнения с вырожденным ядром 402.8. Уравнения с бесконечным пределом интегрирования 412.8-1. Уравнение с переменным нижним пределом интегрирования 412.8-2. Приведение к уравнению Винера-Хопфа первого рода 423. Методы решения линейных уравнений вида у(х) — J^ K(x, t)y(t) dt= f (х) 433.1. Интегральные уравнения Вольтерра второго рода 433.1-1. Предварительные замечания. Уравнения для резольвенты 433.1-2. Связь между решениями интегральных уравнений 443.2. Уравнения с вырожденным ядром: К(х, t) = g1(x)h1(t) + 4- 9n(x)^n(^) 443.2-1. Уравнения с ядром К(х, t) = ip(x) 4- ip(x)(x — t) 443.2-2. Уравнения с ядром К(х, t) = (p(t) 4- ip(t)(t — х) 453.2-3. Уравнения с ядром K(x,t) = J2m=i ^Рт(х)(х ~ £)m_1 463.2-4. Уравнения с ядром К(х, t) = E™=i >Pm(*)(* ~ х)т~1 463.2-5. Уравнения с вырожденным ядром общего вида 473.3. Уравнения с разностным ядром: К(х, t) = К(х — t) 483.3-1. Метод решения, основанный на преобразовании Лапласа 483.3-2. Метод, основанный на решении вспомогательного уравнения 503.3-3. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям 503.3-4. Приведение к уравнению Винера-Хопфа второго рода 513.3-5. Метод дробного интегрирования для уравнения Абеля 513.3-6. Системы интегральных уравнений Вольтерра 533.4. Операторные методы решения линейных интегральных уравнений 533.4-1. Использование решения «укороченного» уравнения 533.4-2. Использование вспомогательного уравнения второго рода 543.4-3. Метод решения «квадратных» операторных уравнений 563.4-4. Решение операторных уравнений полиномиального вида 573.4-5. Некоторые обобщения 583.5. Построение решений уравнений со специальной правой частью 583.5-1. Общая схема 583.5-2. Порождающая функция экспоненциального вида 593.5-3. Порождающая функция степенного вида 613.5-4. Порождающая функция, содержащая синусы или косинусы 623.6. Метод модельных решений 633.6-1. Предварительные замечания 633.6-2. Описание метода 643.6-3. Модельное решение для экспоненциальной правой части 643.6-4. Модельное решение для степенной правой части 663.6-5. Модельное решение для синусоидальной правой части 673.6-6. Модельное решение для косинусоидальной правой части 673.6-7. Некоторые обобщения 673.7. Метод дифференцирования интегральных уравнений 683.7-1. Ядро содержит сумму экспонент 683.7-2. Ядро содержит сумму гиперболических функций 693.7-3. Ядро содержит сумму тригонометрических функций 703.7-4. Ядро содержит комбинации различных функций 713.8. Сведение уравнений Вольтерра второго рода к уравнениям Вольтерра первого рода 713.8-1. Первый способ 723.8-2. Второй способ 723.9. Метод последовательных приближений 723.9-1. Общая схема 723.9-2. Формула для резольвенты 733.10. Метод квадратур 743.10-1. Общая схема метода 743.10-2. Применение формулы трапеций 753.10-3. Случай вырожденного ядра 753.11. Уравнения с бесконечным пределом интегрирования 753.11-1. Случай переменного нижнего предела интегрирования 763.11-2. Приведение к уравнению Винера-Хопфа второго рода 774. Методы решения линейных уравнений вида Ja К(ж, t)y(t) dt = f (ж) ... 784.1. Предварительные замечания 784.1-1. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода 784.1-2. Интегральные уравнения первого рода со слабой особенностью 784.1-3. Интегральные уравнения типа свертки 794.1-4. Парные интегральные уравнения первого рода 804.2. Метод Крейна 804.2-1. Основное и вспомогательное уравнения 804.2-2. Решение основного уравнения 814.3. Метод интегральных преобразований 824.3-1. Уравнение с разностным ядром на всей оси 824.3-2. Уравнения с ядром K(x,t) = K(x/t) на полуоси 824.3-3. Уравнение с ядром K(x,t) = K(xt) и его обобщения 824.4. Задача Римана для действительной оси 834.4-1. Связь интеграла Фурье с интегралом типа Коши 844.4-2. Односторонние интегралы Фурье 854.4-3. Теорема об аналитическом продолжении и теорема Лиувилля 864.4-4. Краевая задача Римана 874.4-5. Задача Римана с рациональными коэффициентами 934.4-6. Исключительные случаи. Однородная задача 944.4-7. Исключительные случаи. Неоднородная задача 964.5. Метод Карлемана для уравнений типа свертки первого рода 994.5-1. Уравнение Винера-Хопфа первого рода 994.5-2. Интегральные уравнения с двумя ядрами первого рода 994.6. Парные интегральные уравнения первого рода 1024.6-1. Метод Карлемана для уравнения с разностными ядрами 1024.6-2. Точные решения некоторых парных уравнений первого рода 1044.6-3. Приведение парных уравнений к уравнению Фредгольма 1054.7. Асимптотические методы решения уравнений с логарифмической особенностью 1094.7-1. Предварительные замечания 1094.7-2. Решение при больших значениях характерного параметра 1094.7-3. Решение при малых значениях характерного параметра ПО4.7-4. Интегральные уравнения теории упругости 1124.8. Методы регуляризации 1124.8-1. Метод регуляризации Лаврентьева 1124.8-2. Метод регуляризации Тихонова 1135. Методы решения линейных уравнений вида у(х) —Ja K(x, t)y(t) dt= f(x) 1145.1. Предварительные замечания 1145.1-1. Уравнения Фредгольма и уравнения со слабой особенностью 1145.1-2. Структура решений 1155.1-3. Интегральные уравнения типа свертки второго рода 1155.1-4. Парные интегральные уравнения второго рода 1155.2. Уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром 1165.2-1. Простейшее вырожденное ядро 1165.2-2. Вырожденное ядро в общем случае 1175.3. Решение в виде ряда по степеням параметра. Метод последовательных приближений 1205.3-1. Итерированные ядра 1205.3-2. Метод последовательных приближений 1205.3-3. Построение резольвенты 1215.3-4. Ортогональные ядра 1225.4. Метод определителей Фредгольма 1235.4-1. Формула для резольвенты 1235.4-2. Рекуррентные соотношения 1245.5. Теоремы и альтернатива Фредгольма 1255.5-1. Теоремы Фредгольма 1255.5-2. Альтернатива Фредгольма 1255.6. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с симметричными ядрами . 1255.6-1. Характеристические числа и собственные функции 1255.6-2. Билинейный ряд 1275.6-3. Теорема Гильберта-Шмидта 1285.6-4. Билинейные ряды итерированных ядер 1285.6-5. Решение неоднородного уравнения 1295.6-6. Альтернатива Фредгольма для симметричных уравнений 1305.6-7. Резольвента симметричного ядра 1305.6-8. Экстремальные свойства характеристических чисел 1315.6-9. Интегральные уравнения, приводимые к симметричным 1315.6-10. Кососимметричное интегральное уравнение 1325.7. Операторный метод решения интегральных уравнений второго рода 1325.7-1. Простейшая схема 1325.7-2. Решение уравнений второго рода на полуоси 1325.8. Метод интегральных преобразований и метод модельных решений 1335.8-1. Уравнение с разностным ядром на всей оси 1335.8-2. Уравнение с ядром K(x,t) = t~1Q(x/t) на полуоси 1355.8-3. Уравнение с ядром K(x,t) = tf3Q(xt) на полуоси 1365.8-4. Метод модельных решений для уравнений на всей оси 1375.9. Метод Карлемана для интегральных уравнений типа свертки второго рода ... 1375.9-1. Уравнение Винера-Хопфа второго рода 1375.9-2. Интегральное уравнение второго рода с двумя ядрами 1415.9-3. Уравнения типа свертки с переменным пределом интегрирования 1465.9-4. Парное уравнение типа свертки второго рода 1485.10. Метод Винера-Хопфа 1495.10-1. Некоторые замечания 1495.10-2. Однородное уравнение Винера-Хопфа второго рода 1515.10-3. Общая схема метода. Проблема факторизации 1545.10-4. Неоднородное уравнение Винера-Хопфа второго рода 1565.10-5. Исключительный случай уравнения Винера-Хопфа второго рода 1575.11. Метод Крейна для уравнения Винера-Хопфа 1585.11-1. Некоторые замечания. Проблема факторизации 1585.11-2. Решение уравнения Винера-Хопфа второго рода 1595.11-3. Формула Хопфа-Фока 1615.12. Методы решения уравнений с разностным ядром на конечном отрезке 1625.12-1. Метод Крейна 1625.12-2. Ядра с рациональными преобразованиями Фурье 1635.12-3. Сведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям 1645.13. Метод замены ядра вырожденным 1665.13-1. Аппроксимация ядра 1665.13-2. Приближенное решение 1675.14. Метод Бейтмена 1685.14-1. Общая схема метода 1685.14-2. Некоторые частные случаи 1695.15. Метод коллокации 1715.15-1. Общие замечания 1715.15-2. Приближенное решение 1725.15-3. Собственные функции уравнения 1735.16. Метод наименьших квадратов 1745.16-1. Описание метода 1745.16-2. Построение собственных функций 1755.17. Метод Бубнова-Галеркина 1765.17-1. Описание метода 1765.17-2. Характеристические числа уравнения 1765.18. Метод квадратур 1785.18-1. Общая схема для уравнений Фредгольма второго рода 1785.18-2. Построение собственных функций 1795.18-3. Особенности применения квадратурных формул 1795.19. Системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода 1805.19-1. Некоторые замечания 1805.19-2. Метод преобразования системы уравнений в одно уравнение 1815.20. Метод регуляризации для некоторых уравнений второго рода 1815.20-1. Основное уравнение и теоремы Нетера 1815.20-2. Регуляризующие операторы 1825.20-3. Метод регуляризации 1836. Методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода .... 1856.1. Предварительные замечания 1856.1-1. Интегральные уравнения первого рода с ядром Коши 1856.1-2. Интегральные уравнения первого рода с ядром Гильберта 1856.2. Интеграл типа Коши 1866.2-1. Определение интеграла типа Коши 1866.2-2. Условие Гёльдера 1876.2-3. Главное значение сингулярного интеграла 1876.2-4. Многозначные функции 1896.2-5. Главное значение сингулярного криволинейного интеграла 1906.2-6. Формула перестановки Пуанкаре-Бертрана 1926.3. Краевая задача Римана 1926.3-1. Теорема об аналитическом продолжении и теорема Лиувилля 1926.3-2. Интерполяционный полином Эрмита 1946.3-3. Понятие индекса 1946.3-4. Постановка задачи Римана 1966.3-5. Решение однородной задачи 1986.3-6. Решение неоднородной задачи 1996.3-7. Задача Римана с рациональными коэффициентами 2016.3-8. Задача Римана для действительной оси 2046.3-9. Исключительные случаи задачи Римана 2066.3-10. Задача Римана для многосвязной области 2106.3-11. Случаи разрывных коэффициентов и разомкнутых контуров 2136.3-12. Краевая задача Гильберта 2136.4. Сингулярные интегральные уравнения первого рода 2146.4-1. Простейшее уравнение с ядром Коши 2146.4-2. Уравнение с ядром Коши на действительной оси 2146.4-3. Уравнение первого рода на конечном отрезке 2156.4-4. Общее уравнение первого рода с ядром Коши 2166.4-5. Уравнения первого рода с ядром Гильберта 2176.5. Метод Мультоппа-Каландия 2186.5-1. Решение, не ограниченное на концах отрезка 2186.5-2. Решение, ограниченное на одном конце отрезка 2206.5-3. Решение, ограниченное на обоих концах отрезка 2217. Методы решения полных сингулярных интегральных уравнений 2227.1. Некоторые замечания 2227.1-1. Интегральные уравнения с ядром Коши 2227.1-2. Интегральные уравнения с ядром Гильберта 2237.1-3. Об уравнениях Фредгольма второго рода на контуре 2247.2. Метод Карлемана для характеристических уравнений 2267.2-1. Характеристическое уравнение с ядром Коши 2267.2-2. Уравнение, союзное с характеристическим 2297.2-3. Характеристическое уравнение на действительной оси 2307.2-4. Исключительный случай характеристического уравнения 2327.2-5. Характеристическое уравнение с ядром Гильберта 2347.2-6. Уравнение Трикоми 2347.3. Полные сингулярные интегральные уравнения, разрешаемые в замкнутой форме 2357.3-1. Замкнутое решение при постоянных коэффициентах 2357.3-2. Замкнутое решение в общем случае 2367.4. Метод регуляризации для полных сингулярных интегральных уравнений .... 2387.4-1. Некоторые свойства сингулярных операторов 2387.4-2. Регуляризующий оператор 2407.4-3. Способы регуляризации слева и справа 2417.4-4. Проблема равносильной регуляризации 2427.4-5. Теоремы Нётера 2437.4-6. Способ регуляризации Карлемана-Векуа 2447.4-7. Регуляризация в исключительных случаях 2467.4-8. Полное уравнение с ядром Гильберта 2468. Методы решения нелинейных интегральных уравнений 2508.1. Некоторые определения и замечания 2508.1-1. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра 2508.1-2. Нелинейные уравнения с постоянными пределами интегрирования .... 2518.2. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра 2528.2-1. Метод интегральных преобразований 2528.2-2. Метод дифференцирования интегральных уравнений 2538.2-3. Метод последовательных приближений 2548.2-4. Метод Ньютона-Канторовича 2568.2-5. Метод коллокации 2588.2-6. Метод квадратур 2588.3. Уравнения с постоянными пределами интегрирования 2608.3-1. Нелинейные уравнения с вырожденными ядрами 2608.3-2. Метод интегральных преобразований 2628.3-3. Метод дифференцирования интегральных уравнений 2638.3-4. Метод последовательных приближений 2648.3-5. Метод Ньютона-Канторовича 2648.3-6. Метод квадратур 2678.3-7. Метод регуляризации Тихонова 267Список литературы 269
----------------------------------------------
---------------------------------------------- |
