Элементарная математика в современном изложении.люсьенн феликс- книгу скачать.
Пер. с фр. В. М. Боцу и др.; Под ред. Б. Л. Лаптева. - М.: Просвещение,1967.- 488с. Формат: djvu / zip Размер: 3,4 Мб Скачать / Download файл 
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ Советскому читателю предоставляется возможность ознакомиться с результатами многолетних размышлений интересного французского педагога относительно содержания курса школьной математики и построения стройной логической системы основ математических знаний. Люсьенн Феликс, ученица одного из крупнейших представителей французской математической мысли первых десятилетий нашего века Анри Лебега, довольно точно следует педагогическим идеям своего учителя. Эти идеи продолжают сохранять свежесть и в наши дни. Теоретико-множественные концепции, пронизывающие всю книгу Люсьенн Феликс, имеют в наши дни фундаментальное значение не только для теоретической математики, но и для многих физических, технических, биологических и иных научных дисциплин. Эти концепции используются не только при построении вершин науки и ее основ, но также и в педагогическом процессе. Скажу, например, что в курсах математической статистики, которые предназначены в США для агрономов и других специалистов сельского хозяйства, теоретико-множественным концепциям науки уделяется большое внимание, поскольку именно они позволяют глубже и свободнее взглянуть на реальные явления. Точно так же при построении основ теории надежности выяснилось, что без теоретико-множественного подхода не удается разумно осмыслить самые центральные ее понятия. В связи с этим в работах, предназначенных для инженеров, изложение приходится строить именно на этой базе (см., например, статью Б. В. Гнеденко и Я. Б. Шора «Надежность» в энциклопедии «Автоматизация производства и промышленная электроника», т. 2, М., 1963). Конечно, книга Люсьенн Феликс не является учебником для школьников. Она предназначена, в первую очередь, для преподавателей, то есть для весьма квалифицированного читателя. Я убежден, что эта книга будет с интересом и пользой изучена нашими педагогами. Несомненно, что многие трактовки и подходы автора вызовут критические замечания и во всяком случае натолкнут читателей на размышления о содержании курса математики средней школы. В 1962 году Люсьенн Феликс была в Москве и выступала с докладом на заседании школьной секции Московского математического общества. Устным изложением она сумела заинтересовать как своими идеями, так и рассказом об экспериментах, которые она проводила лично, а также и другие педагоги под ее руководством в различных школах. Вопросы перестройки математического образования сейчас волнуют педагогов и ученых во всем мире. Это вызвано рядом обстоятельств и в первую очередь стремлением приблизить содержание курса математики средней школы к установкам и устремлениям современной математической науки и к запросам практики. На международных конференциях по математическому образованию, в особенности после 1957 года, когда был запущен первый советский спутник Земли, проблема того, чему учить по математике школьников, является центральной. Традиционные курсы школьной математики сложились в определенных условиях под влиянием определенных общественных задач и требований, а также при определенном уровне математической науки. С тех пор наука сделала огромный скачок в своем развитии. Она стала непосредственной производительной силой общества. Все это нельзя игнорировать. Необходимо учесть и то, что первоначальный запас знаний и навыков, с которыми дети приходят в школу, резко отличен от того, с которым дети приходили раньше. Они свободно обсуждают в дошкольном возрасте не только особенности марок автомобилей, но и простейшие графики, с которыми они встречаются в повседневной жизни. Они знакомы с использованием электричества, свободно включают и выключают радиоприемники и телевизоры. Вот почему ни содержание школьных программ, ни построение курса математики не может оставаться неизменным. Время от времени все это следует пересматривать с позиции состояния науки, а также с позиции практики и тех требований, которые предъявляет жизнь сегодня или предъявит завтра. Таким образом, и в образовании то, что вчера было превосходно, а сегодня еще хорошо, завтра может оказаться неудовлетворительным. Школьное образование — живой организм, а потому обязано развиваться. Если не учесть этого обстоятельства, то можно жестоко поплатиться падением интереса к предмету, а упадок интереса порождает безразличие, что влечет за собой безделие и инертность. Разработка структуры школьного курса математики является одной из центральных задач советской педагогической науки. Эта проблема стала центральной и для Комиссии по математическому образованию, которая создана при Президиуме АН СССР и возглавляется академиком А. Н. Колмогоровым. Для успешного продвижения в решении этой проблемы, безусловно, важен личный педагогический и научный опыт, а также научный кругозор. Это является гарантией правильного подхода, далекого от субъективизма, который мешает учесть все основные требования науки и практики к элементам математического образования, к системе математических знаний, закладываемых школьным курсом математики. Для этой цели абсолютно необходимо и систематическое знакомство с теми подходами, которые выработаны в других странах и по тем же вопросам. С этих позиций книга Люсьенн Феликс весьма полезна. В ней читатель найдет много интересного и спорного, а это исключительно важно.Б. В. Гнеденко ОГЛАВЛЕНИЕОбщие обозначения..................... 14 Первая книга ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫПервая глава. Терминология и символы теории множеств. Операции 17§ 1. Первоначальные определения .............. —§ 2. Отношения эквивалентности............... 19§ 3. Отношение порядка................... 21§ 4. Операции ...................... 22Вторая глава. Числа...................... 25§ 1. Натуральные числа................... 26I. Сложение....................... —II. Отношение порядка.................. —III. Вполне упорядоченные множества........... 28IV. Умножение...................... 31V. Множество N натуральных чисел является архимедовым множеством...................... 34§ 2. Относительные числа. Симметризация.......... 35I. Понятие изоморфизма двух структур......... —II. Расширение путем симметризации........... 36§ 3. Дроби и рациональные числа............. 41I. Дроби ........................ 42II. Рациональные числа................. 44III. Множество рациональных чисел как расширение множества целых чисел.................. 45§ 4. Понятие о вещественных числах............ 48I. Введение квадратных корней............. 49II. Аксиома полноты................... 50III. Свойства множества вещественных чисел........ 52IV. Множество Q рациональных чисел как подмножество множества R вещественных чисел ............ 53Третья глава. Векторные пространства.............. 54I. Векторы. Векторные операции ............ —II. Векторные пространства................ 57III. Точечное пространство как образ векторного пространства .......................... 62Четвертая глава. Отображение одного множества в другое. Точечные преобразования. Числовые функции..65 Алгебраическая точка зрения§ 1. ©бщее понятие об отображении ............. —I. Определение ..................... —II. Группы отображений множества на себя....... 68§ 2. Точечные преобразования (общие понятия)....... 70I. Терминология..................... —II. Классификация точечных преобразований........ 71III. Трансформирование одного точечного преобразования другим ....................... —§ 3. Числовые функции одной переменной (общие понятия) . . 72I. Определение ..................... —II. Возрастание и убывание числовой функции в области ееопределения ..................... 75Топологическая точка зрения§ 1. Общие понятия: окрестности, пределы......... 76I. Окрестности ...................... —П. Пределы ....................... 79§ 2. Локальное исследование числовой функции....... 80§ 3. Переход от локального исследования к глобальному ... 84I. Основные теоремы................... —II. Приложения к непрерывным дифференцируемым функциям 87III. Расширение понятий окрестности и предела...... 90IV. Применение понятия непрерывности.......... 91Пятая глава. Введение в метрическую геометрию......... —§ 1. Определение евклидовых метрических пространств .... —I. Введение метрики................... 92II. Приложения к точечному двумерному пространству . . 95III. Метрическая геометрия в трехмерном пространстве . . . 102IV. Ориентация метрических пространств двух и трех измерений ......................... 104§ 2. Произведения векторов в трехмерном пространстве . . . 105I. Скалярное произведение................ 106II. Векторное произведение (3-мерная геометрия)..... 108III. Тригонометрические обозначения............ ПО§;3. Углы.......................... 112I. Косинус и синус упорядоченной пары единичных векторов —II. Конгруэнтность пар векторов. Углы......... 113§ 4. Пределы, связанные с тригонометрическими функциями.Радиан. Вычисление числа л.............. 116I. Углы и хорды.................... —II. Предел отношения длины хорды единичного круга к мере q< центрального угла....... 118III. Приближенное вычисление числа я........... 119Шестая глава. Булева алгебра множеств. Меры. Вероятность .... 121§ 1. Алгебра множеств ................... —§ 2. Меры ......................... 126I. Определения ..................... —II. Естественная мера на вещественной прямой...... 127III. Меры в пространстве двух измерений......... 129A. Естественные меры в аффинной геометрии ...... —B. Приложения к метрической геометрии........ 1321) Площади плоских фигур.............. —2) Масса отрезка прямой. Плотность......... 133IV. Меры в трехмерном пространстве........... 134V. Длины кривых. Площади кривых поверхностей .... 135§ 3. Введение понятия вероятности ............. 137I. Меры на множестве событий............. —II. Вероятности (случай конечных множеств)....... 139III. Непрерывные вероятности (случай бесконечных множеств) 142 Вторая книга АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРАПервая часть. Теория чиселПервая глава. Целые числа................... 145§ 1. Евклидово деление................... —§ 2. Делимость. Сравнения ................. 147§ 3. Кратные и делители. Простые числа.......... 150I. Кратные и делители целого числа........... —II. Основная теорема................... 153III. Приложения. Общие кратные и общие делители .... 154§ 4. Изучение простых чисел................ 157§ 5. Нумерация....................... 159I. Позиционный принцип нумерации ........... —II. Практические правила операций........... 160III. Признаки делимости ................. 164§ 6. Алгоритм Евклида. Дробные величины......... 166I. Алгоритм Евклида во множестве натуральных чисел ... —II. Алгоритм Евклида во множестве величин....... 170Вторая глава. Дроби. Рациональные числа. Десятичные дроби ... 175I. Дроби ........................ 176II. Десятичные дроби .................. 177III. Кольцо десятичных дробей в поле рациональных чисел 178Третья глава. Вещественные числа............... 183§ 1. Мощности подмножеств множества вещественных чисел ... —I. Счетные подмножества ................ 184П. Мощность континуума ................ 185III. Дополнительные сведения о кардинальных (количественных) числах........................ 188§ 2. Логарифмы. Обобщение понятия показателя степени . . . 190Вторая часть. Алгебраические выражения. Решение уравненийПервая глава. Многочлены. Рациональные функции ....... 196I. Определение многочлена............... —II. Числовые значения многочлена. Делимость на х — а . . 201III. Деление в кольце многочленов............ 2051 Точное частное ................... —2 Евклидово деление многочленов............ 2093 Деление многочленов, расположенных по возрастающим степеням....................... 212IV. Рациональные дроби от одного неизвестного...... 213V. Многочлены и рациональные дроби от нескольких неизвестных ....................... 215VI. Замечание о применении тригонометрии к алгебраическим задачам....................... 217Вторая глава. Решение уравнений................ 220I. Определения .................... —II. Равносильность (эквивалентность) уравнений...... 221III. Классические уравнения и системы......... 224A. Основные уравнения ................. —B. Уравнения, приводящиеся к предыдущим преобразованием неизвестных .................. 226 Третья книгаАНАЛИЗПервая глава. Локальное исследование числовой функции одной переменной ............ 230I. Вычисление пределов................. 231II. Вычисление производных ............... 234III. Бесконечные пределы. Неопределенные выражения . . 242 Вторая глава. Глобальное исследование числовой функции одной переменной........... 245I. Прямое исследование................. —II. Следствия из локальных гипотез во всех точках интервала .......................... 246Третья глава. Графики ..................... 248I. Глобальное исследование ............... —II. Локальное исследование................ 249III. Исследование бесконечных ветвей........... 253IV. Понятие о дифференциальной геометрии плоских кривых. Кинематика.................... 256Четвертая глава. Приложения общих теорем........... 261I. Специальные виды функций.............. —II. Применение исследования функций к решению уравнений. 269Пятая глава. Первообразные................... 272I. Общая первообразная некоторой функции....... —II. Геометрическая интерпретация первообразных..... 275III. Существование первообразных. Первообразная функция 1/х.......................... 277Шестая глава. Комплексные числа................ 279I. Исторические сведения................ 280II. Поле комплексных чисел............... 284III. Числовые функции комплексного переменного..... 289A. Топология в комплексной плоскости......... 290B. Изменение аргумента вдоль замкнутого контура. Основная теорема алгебры (теорема Даламбера). 292IV. Обзор приложений комплексных чисел......... 294 Четвертая книгаГЕОМЕТРИИ Первая часть: Аффинная геометрия и проективная геометрияПервая глава. Аффинная геометрия................ 300§ 1. Основные фигуры.................... —I. Геометрия плоскости (геометрия двух измерений) ... —II. Геометрия трехмерного пространства R3 ........ 304III. Теория центра тяжести (барицентра)......... 306§ 2. Аффинные точечные преобразования........... 309I. Общее аффинное преобразование............ —II. Частные случаи аффинных преобразований...... 311A. Параллельный перенос................ —B. Гомотетия ...................... 312C. Аффинитеты .................... 319D. Проекция одной плоскости на другую параллельно направлению некоторой прямой ...... 322§ 3. Линейные преобразования. Понятие о матрицах..... 324Вторая глава. Понятия проективной геометрии.......... 333I. Перспективное отображение плоскости на плоскость . . 334II. Инвариант коллинеарных точек............ 337III. Введение координат в проективной геометрии..... 341IV. Проективные преобразования плоскости (коллинеации) 343 V. Гармоническое деление. Гармонические пучки .344VI. Очерк прямого аксиоматического введения проективной геометрии...................... 348Вторая часть. Метрические геометрииПервая глава. Евклидова метрическая геометрия ......... 355§ 1. Метрические соотношения................ —I. Соотношения между длинами............. —II. Метрическая аналитическая геометрия на плоскости . . 358 III. Метрические соотношения, содержащие тригонометрические функции. 360§ 2. Окружности. Сферы................... 362I. Окружность и углы . ............... . —II. Степень точки относительно окружности........ 368III. Семейства окружностей................ 372IV. Понятие о преобразовании методом взаимных поляр . . 376 § 3. Точечные преобразования метрической геометрии 377I. Аффинные преобразования в метрической геометрии . . . 378II. Перемещения и антиперемещения........... 3791) Введение....................... —2) Внутреннее исследование перемещений и антиперемещений ......................... 382а) Одномерное пространство.............. —б) Двумерное пространство............... —с) Трехмерное пространство.............. 388д) Движение недеформируемой фигуры......... 395III. Подобие ...................... 398Вторая глава. Инверсия. Элементы круговой геометрии...... 402I. Инверсия как преобразование в метрической геометрии —II. Понятие о круговой геометрии............ 412Третья глава. Понятие о метрических неевклидовых геометриях . . 417I. Предварительные сведения............... 418II. Геометрия Лобачевского................ 424III. Модель Пуанкаре для геометрии Лобачевского (на плоскости) ......................... 433IV. Сферическая геометрия, модель геометрии Римана . . . 437Третья часть. Конические сеченияI. Определение конических сечений на конусе вращения 443 II. Конические сечения в аналитической геометрии. Степень уравнения..449III. Аффинные свойства центральных конических сечений 455IV. Конические сечения в проективной геометрии..... 457V. Тангенциальная точка зрения ............. 459Дополнения........................... 461Предметный указатель...................... 486
----------------------------------------------
---------------------------------------------- |
