На этой странице собраны все формулы, необходимые для сдачи контрольных и самостоятельных работ, экзаменов по по алгебре, геометрии, тригонометрии, стереометрии и другим разделам математики.
Здесь вы можете скачать или посмотреть онлайн все основные тригонометрические формулы, формулу площади круга, формулы сокращенного умножения, формула длины окружности, формулы приведения и многие другие. Можно так же распечатать необходимые сборники математических формул. Успехов в учебе!
Формулы Арифметики:
- Законы действий над числами
- Некоторые математические обозначения
- Признаки делимости натуральных чисел
- Модуль
- Действия с дробями
- Пропорции
- Средние величины
- Некоторые конечные числовые ряды
Формулы Алгебры:
- Тождественные преобразования
- Тригонометрические формулы
- Прогрессии
- Производная
- Логарифмы
- Координаты и векторы
- Комбинаторика и бином Ньютона
- Пределы
- Интегралы
Геометрические Формулы:
Арифметические формулы:
Законы действий над числамиПереместительный закон сложения: a + b = b + a.
Сочетательный закон сложения: (a + b) + с = a + (b + c).
Переместительный закон умножения: ab = ba.
Сочетательный закон умножения: (ab)с = a(bc).
Распределительный закон умножения относительно сложения: (a + b)с = aс + bс.
Распределительный закон умножения относительно вычитания: (a — b)с = aс — bс.
Некоторые математические обозначения и сокращения:
| Знак | Значение | " | Знак | Значение |
|---|---|---|---|---|
| = | равно | " |  | дуга |
| ≠ | не равно | || | параллельно | |
| ≈ | приблизительно равно |  | перпендикулярно | |
| >, < | больше, меньше | ~ | подобно | |
| ≥ | больше или равно | o ’ " | градус минута секунда | |
| ≤ | меньше или равно | sin | синус | |
| | | | абсолютная величина (модуль) | cos | косинус | |
 | корень n-ой степени | tg | тангенс | |
| ! | факториал | ctg | котангенс | |
| log a b | логарифм числа b по основанию a | arcsin | арксинус | |
| Σ | сумма | arccos | арккосинус | |
| Δ | треугольник | arctg | арктангенс | |
 | угол | arcctg | арккотангенс |
Признаки делимости
Признаки делимости на «2»
- Число, делящееся на «2» без остатка называется чётным, не делящееся – нечётным. Число делится на «2» без остатка, если его последняя цифра чётная (2, 4, 6, 8) или ноль
Признаки делимости на «4»
- Число делится на «4» без остатка, если две последние его цифры нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «4»
Признаки делимости на «8»
- Число делится на «8» без остатка, если три последние его цифры нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «8» (пример: 1 000 — три последние цифры «00», а при делении 1 000 на 8 получается 125; 104 — две последние цифры «12» делятся на 4, а при делении 112 на 4 получается 28; и.т.д.)
Признаки делимости на «3» и на «9»
- Без остатка на «3» делятся только те числа, у которых сумма цифр делится без остатка на «3»; на «9» — только те, у которых сумма цифр делится без остатка на «9»
Признаки делимости на «5»
- Без остатка на «5» делятся числа, последняя цифра которых «0» или «5»
Признаки делимости на «25»
- Без остатка на «25» делятся числа, две последние цифры которых нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «25» (т.е. числа, оканчивающиеся на «00», «25», «50», «75»
Признаки делимости на «10», «100» и на «1 000»
- Без остатка на «10» делятся только те числа, последняя цифра которых ноль, на «100» — только те числа, у которых две последние цифры нули, на «1000» — только те числа, у которых три последние цифры нули
Признаки делимости на «11»
- Без остатка на «11» делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на «11»
Абсолютная величина — формулы (модуль)
|a| ? 0, причём |a| = 0 только если a = 0; |-a|=|a| |a2|=|a|2=a2 |ab|=|a|*|b| |a/b|=|a|/|b|, причём b ? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b|
Формулы Действия с дробями
Формула обращения конечной десятичной дроби в рациональную дробь:
Пропорции
<span «>Два равных отношения образуют пропорцию:
Основное свойство пропорции ad = bc
Нахождение членов пропорции
Пропорции, равносильные пропорции :
Производная пропорция — следствие данной пропорции в виде Средние величины
Двух величин: Среднее арифметическое
n величин:
Среднее геометрическое (среднее пропорциональное)
Двух величин:n величин:
Среднее квадратичное
Двух величин:n величин:
Среднее гармоническое
Двух величин:n величин: Некоторые конечные числовые ряды
Алгебра:
Тождественные преобразования алгебраических и тригонометрических выражений
Свойства степеней
- Для любых x, y и положительных a и b верны равенства:
Свойства арифметических корней
Для любых натуральных n и k, больших 1, и любых неотрицательных a и b верны равенства:Многочлены
Для любых a, b и c верны равенства:
Свойства числовых неравенств
1) Если a < b, то при любом c: a + с < b + с.
2) Если a < b и c > 0, то aс < bс.
3) Если a < b и c < 0, то aс > bс.
4) Если a < b, a и b одного знака, то 1/a > 1/b.
5) Если a < b и c < d, то a + с < b + d, a — d < b — c.
6) Если a < b, c < d, a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, то ac < bd.
7) Если a < b, a > 0, b > 0, то
8) Если
, то
Формулы половинного аргумента:
(для функций sin и cos – формулы понижения степени)
Формулы третьей и четвертой степени:
Формулы преобразования суммы в произведение:
Формулы преобразования произведения в сумму:
Формула приведения для преобразования выражений вида
а) перед приведенной функцией ставиться тот знак, который имеет исходная функция;
б) функция меняется на «кофункцию», если n нечетно; функция не меняется, если n четно. (Кофункциями синуса, косинуса, тангенса и котангенса называются соответственно косинус, синус, котангенс и тангенс.) Например:
Формулы нахождения угла:
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ
Единичная окружность:
Формулы Прогрессии:
Арифметическая прогрессия
(a1 – первый член; d – разность; n – число членов; an – n-й член; Sn – сумма n первых членов):
Геометрическая прогрессия
(b1 – первый член; q – знаменатель; n – число членов; bn – n-й член; Sn – сумма n первых членов, S – сумма бесконечной геом. прогрессии):
Производная
Основные правила дифференцирования:
Производная сложной функции:
Если функция f имеет производную в точке xo, а функция g имеет производную в точке yo = f(xo), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке xo, причем:
Производные тригонометрической функции:
Производная логарифмической функции:
Уравнение касательной к графику функции:
- Механический смысл производной:
- 1) v(t) = x'(t);
- 2) a = v'(t).
- Геометрический смысл производной:
- Логарифмы:
- Координаты и векторы
1. Расстояние между точками A1(x1;y1) и A2(x2;y2) находится по формуле:
2. Координаты (x;y) середины отрезка с концами A1(x1;y1) и A2(x2;y2) находится по формулам:
3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой имеет вид:
y = kx + q.
Угловой коэффициент k представляет собой значение тангенса угла, образуемого прямой с положительным направлением оси Ox, а начальная ордината q – значение ординаты точки пересечения прямой с осью Oy.
4. Общее уравнение прямой имеет вид: ax + by + c = 0.5. Уравнения прямых, параллельных соответственно осям Oy и Ox, имеют вид:
ax + by + c = 0.6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых y1=kx1+q1 и y2=kx2+q2 соответственно имеют вид:
7. Уравнения окружностей с радиусом R и с центром соответственно в точках O(0;0) и C(xo;yo) имеют вид:
8. Уравнение:
представляет собой уравнение параболы с вершиной в точке, абсцисса которой
- Прямоугольная декартова система координат в пространстве
1. Расстояние между точками A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находится по формуле:
2. Координаты (x;y;z) середины отрезка с концами A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находятся по формулам:
3. Модуль вектора
заданного своими координатами, находится по формуле:
4. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы:
5. Единичный вектор
сонаправленный с вектором
находится по формуле:
6. Скалярным произведением
векторов
называется число:
где
— угол между векторами.
7. Скалярное произведение векторов
8. Косинус угла между векторами
и
находится по формуле:
9. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов
и
имеет вид:
10. Общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору
ax + by + cz + d = 0.имеет вид:
11. Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору
a(x — xo) + b(y — yo) + c(z — zo) = 0.и проходящей через точку (xo;yo;zo), имеет вид:
12. Уравнение сферы с центром O(0;0;0) записывается в виде:
- Комбинаторика и бином Ньютона
1) Число перестановок из n элементов находится по формуле:
2) Число размещений из n элементов по m находится по формуле:
3) Число сочетаний из n элементов по m находится по формуле:
4) Справедливы следующие свойства сочетаний:
5) Формула бинома Ньютона имеет вид:
Сумма показателей чисел a и b равна n.
6) (k+1)-й член находится по формуле:
7) Число сочетаний
также можно найти по треугольнику Паскаля.
Треугольник Паскаля (до n=7):
8) Сумма биномиальных коэффициентов равна 2n.
9) Чтобы найти биномиальный коэффициент следующего члена, нужно биномиальный коэффициент предыдущего члена умножить на показатель числа a и разделить на кол-во предыдущих членов.
- Пределы
- Теоремы о пределах
- Замечательные пределы
- Неопределенные интегралы
- Планиметрия1. Произвольный треугольник:
Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис. (a,b,c – стороны:
— противолежащие им углы; p – полупериметр; R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности; S – площадь; ha – высота, проведенная к стороне a):
2. Прямоугольный треугольник:
Центр описанной окружности совпадает с центром гипотенузы. (a,b – катеты; c – гипотенуза; ac, bc – проекции катетов на гипотенузу):
3. Равносторонний треугольник:
Медиана = биссектрисе. OR = Or.
4. Произвольный выпуклый четырехугольник
(d1 и d2 – диагонали;
– угол между ними; S — площадь):
5. Параллелограмм
(a и b – смежные стороны;
– угол между ними; ha – высота, проведенная к стороне a):
6. Ромб:
В любой ромб можно вписать окружность.
7. Прямоугольник:
Около любого прямоугольника можно описать окружность.
8. Квадрат
(d – диагональ):
9. Трапеция
(a и b – основания; h – расстояние между ними; l – средняя линия):
10. Описанный многоугольник
(p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности):
S = pr. 11. Правильный многоугольник(an – сторона правильного n-угольника; R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности):
12. Окружность, круг
(r — радиус; C – длина окружности; S – площадь круга):
13. Сектор
(l – длина дуги, ограничивающей сектор;
— градусная мера центрального угла;
- Стереометрия1. Произвольная призма
(l – боковое ребро; P – периметр основания; S – площадь основания; H – высота; Pсеч – периметр перпендикулярного сечения; Sбок – площадь боковой поверхности; V — объем):
2. Прямая призма:
3. Прямоугольный параллелепипед
(a,b,c – его измерения; V — диагональ):
4. Куб
(a — ребро):
5. Произвольная пирамида
(S – площадь основания; H – высота; V — объем):
6. Правильная пирамида
(P – периметр основания; l – апофема; Sбок – площадь боковой поверхности):
7. Произвольная усеченная пирамида
(S1 и S1 – площади оснований; h – высота; V — объем):
8. Правильная усеченная пирамида
(P1 и P2 – периметры оснований; l – апофема; Sбок – площадь боковой поверхности):
9. Цилиндр
(R – радиус основания; H – высота; Sбок – площадь боковой поверхности; V — объем):
10. Конус
(R – радиус основания; H – высота; l – образующая; Sбок – площадь боковой поверхности; V — объем):
11. Шар, сфера
(R – радиус шара; S – площадь сферической поверхности; V — объем):
12. Шаровой сегмент
(R – радиус шара; h – высота сегмента; S – площадь сферической поверхности сегмента; V — объем):
13. Шаровой сектор
(R – радиус шара; h – высота сегмента; V — объем):
