лекции по математическому анализу. архипов г.и., садовничий в.а., чубариков в.н.- книгу скачать.
 
5-е изд., испр. - М.: 2004. — 640 с. Книга является учебником по курсу математического анализа и посвящена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных. В ее основу положены лекции, прочитанные авторами на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова. В учебнике предложен новый подход к изложению ряда основных понятий и теорем анализа, а также и к самому содержанию курса. Для студентов университетов, педагогических вузов и вузов с углубленным изучением математики. Формат: djvu / zip (2004, 5-е изд., 640с.) Размер: 6,9 Мб Скачать: Onlinedisk Формат: djvu / zip (1999, 695с.) Размер: 5,1 Мб Скачать / Download файл 
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие............................................................................... 3 ЧАСТЬ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Глава I. ВВЕДЕНИЕ.................................................................. ................... 7 Лекция 1 § 1.Множества. Операции над множествами. Декартово произведение. Отображения. Функции............................. ........ 7 Лекция 2 § 2.Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума................................... 14 Лекция 3 § 3.Вещественные числа.......................................................... 19 Лекция 4. § 4.Полнота множества вещественных чисел......................... 23 § 5. Леммы об- отделимости множеств, о системе вложенных отрезков и последовательности стягивающихся отрезков.................................................................. 27 Глава II. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ................................ 29 Лекция 5 § 1.Метод математической индукции.Бином Ньютона и неравенство Бернулли..................................................... 29 § 2. Числовые последовательности. Бесконечно малые ибесконечно большие последовательности и их свойства..................................................................................... 33 Лекция б § 3.Предел последовательности.............................................. 38 § 4.Предельный переход в неравенствах................................. 41 Лекция 7 § 5.Монотонные последовательности. Теорема Вейер- штрасса.Число "е" и постоянная Эйлера....................... 45 Лекция 8 § 6. Теорема Больцано - Вейерштрасса о существованиичастичного предела у ограниченной последовательности.................................................................................. 52 § 7.Критерий Коши для сходимости последовательности53 Глава III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ......................................... 55 Лекция 9 § 1.Понятие предела числовой функции................................. 55 § 2.База множеств. Предел функции по базе......................... 57 Лекция 10 § 3.Свойство монотонности предела функции....................... 63 § 4.Критерий Кошисуществованияпредела функции по базе.................... •----- ................................................... 64 Лекция 11 § 5.Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне........................................................................... 67 § 6.Теоремы о пределе сложной функции.............................. 68 § 7.Порядок бесконечно малой функции............................... 72 Глава IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.... 74 Лекция 12 § 1.Свойства функций, непрерывных в точке........................ 74 § 2.Непрерывность элементарных функций............................ 76 Лекция 13 § 3.Замечательные пределы..................................................... 79 § 4.Непрерывность функции на множестве............................ 82 Лекция 14 § 5.Общие свойства функций, непрерывных на отрезке 90 Лекция 15 § 6.Понятие равномерной непрерывности.............................. 93 § 7.Свойства замкнутых и открытых множеств.Компакт. Функции, непрерывные на компакте........................ 94 Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ................ .................................. 98 Лекция 16 § 1.Приращение функции. Дифференциал и производная функции............... .....'................................ —.......... 98 Лекция 17 § 2.Дифференцирование сложной функции............................ 103 § 3.Правила дифференцирования............................................ 107 Лекция 18 §4.Производные и дифференциалы высших порядков.. 109§ 5.Возрастание и убывание функции в точке........................ 115 Лекция 19 § 6.Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа................................... 117 Лекция 20 § 7.Следствия из теоремы Лагранжа....................................... 122 § 8.Некоторые неравенства...................................................... 123 §9.Производная функции, заданной параметрически... 125 Лекция 21 § 10. Раскрытие неопределенностей.......................................... 126 Лекция 22 §11. Локальная формула Тейлора----------- ................................ 132 § 12. Формула Тейлора состаточнымчленомвобщей форме...................................................................................... 137 Лекция 23 § 13. Применение формулы Тейлора к некоторым функциям .................................................................................. 141 Лекция 24 § 14. Исследованиефункцийспомощьюпроизводных. Экстремальные точки. Выпуклость.................................. 144 Лекция 25 § 15. Точки перегиба.................................................................. 151 Лекция 26 § 16. Интерполирование............................................................. 157 Лекция 27 § 17.Метрд хорд и метод касательных (метод Ньютона). Быстрые вычисления......................................................... 160 Глава VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.................................... 166 Лекция 28 § 1.Точная первообразная. Интегрируемые функции...166 Лекция 29. § 2.Свойства неопределенного интеграла.............................. 169 Лекция 30 Дополнение.Обобщение понятия предела по Гейне на функции, сходящиеся по базе множеств........................... 174 ЧАСТЬ II. ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХГлава VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 183 Лекция 1 § 1.Введение............................................................................ 183 § 2.Определение интеграла Римана......................................... 184 Лекция 2 § 3.Критерий интегрируемости функции по Риману ....190 Лекция 3 § 4.Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману. . .'................................................... 195 § 5.Специальныйкритерийинтегрируемости функции по Риману....................................................................... 196 § 6.Метод интегральных сумм................................................ 200 Лекция 4 § 7.Свойства интеграла Римана как предела по базе. 204 § 8.Классы функций, интегрируемых по Риману................ 209 Лекция 5 § 9.Свойства определенного интеграла.................................. 212 § 10. Аддитивность интеграла.................................................... 217 Глава VIII. ОСНОВНЫЕТЕОРЕМЫ ТЕОРИИИНТЕГРАЛА РИМАНА.............................................................................. 219 Лекция 6 § 1.Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла......................... 219 § 2.Теорема Ньютона - Лейбница. Формулы суммирования Эйлера и Абеля........................................................ 220 Лекция 7 § 3.Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле..................................... 225 § 4.Первая и вторая теоремы о среднем значении.................. 226 Лекция 8 § 5.ФормулаТейлорасостаточнымчленомвинтегральной форме................................................................. 233 § 6.Неравенства, содержащие интегралы............................... 239 Лекция 9 § 7.Критерий Лебега интегрируемости функции по Ри- ману................... '............................................................... 241 § 8.Доказательство критерия Лебега...................................... 242 Глава IX. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.................................. 246 Лекция 10 § 1. Определение несобственных интегралов первого и второго рода...................................................................... 246 § 2.Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобственных интегралов................................................ 248 § 3.Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле........................... 249 Лекция 11 § 4.Несобственные интегралы второго рода.......................... 253 § 5.Формулы замены переменной и интегрирования по частям в несобственном интеграле................................... 255 Глава X. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ....................................................... 257 Лекция 12 § 1.Кривые в многомерном пространстве ............................ 257 § 2.Теорема о длине дуги кривой........................................ 259 Глава XI. МЕРА ЖОРДАНА.................................................................. 262 Лекция 13 § 1.Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела. Определение меры Жордана............................ 262 § 2.Критерий измеримости множества по Жордану_______ 264 Лекция 14 § 3.Свойства меры Жордана................................................... 267 § 4.Измеримость спрямляемой кривой................................... 269 § 5.Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостьюпоЖордануеекриволинейной трапеции...................................... 271 Глава XII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА. ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА.................................... 275 Лекция 15 § 1.Определение и свойства меры Лебега.............................. 275 Лекция 16 § 2.Интеграл Лебега................................................................. 282 Лекция 17 § 3.Интеграл Стильтьеса.......................................................... 288 Глава XIII. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.............................. 296 Лекция 18 § 1.Определения...................................................................... 296 Лекция 19 § 2.Хаусдорфовость метрического пространства в естественной топологии........................................................... 302 § 3.Внутренние, внешние и граничные точки множества в метрическом пространстве............................................. 303 § 4.Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений.................................. 306 Лекция 20 § 5.Непрерывные отображения метрических пространств........................................................................ 308 § 6.Понятиекомпакта.Компактыв Жпиполнота пространства Rn. Свойства непрерывных функций на компакте................. 309 § 7.Связные множества и непрерывность............................... 312 Глава XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ......................................... 314 Лекция 21 § 1.Непрерывные функции в Шп............................................. 314 § 2. Дифференцируемые функции в Мп..................................... 317 Лекция 22 § 3. Дифференцирование сложной функции............................. 320 § 4.Производная по направлению.Градиент........................ 321 § 5.Геометрический смысл дифференциала............................ 323 Лекция 23 § 6.Частные производные высших порядков.......................... 324 § 7. Дифференциалы высших порядков.Формула Тейлора ....... '.................................................................... ___ 326 Лекция 24 § 8.Приложениеформулы Тейлора.Локальныйэкстремум функции многих переменных................................ 330 § 9.Неявные функции.............................................................. 332 Лекция 25 § 10. Система неявных функций................................................. 337 § 11. Условный экстремум функции многих переменных. 341 § 12.Дифференцируемые отображения.Матрица Якоби. 344 ЧАСТЬ III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ Глава XV. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ............................................................ 347 Лекция 1 § 1.Основные свойства сходящихся рядов. Критерий Коши................................................................................ 347 Лекция 2 § 2.Ряды с неотрицательными членами................................... 355 Лекция 3 § 3.Основные признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами..................................................... 360 Лекция 4 § 4.Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница............................................................................ 368 § 5.Признаки Абеля и Дирихле............................................ 370 Лекция 5 § 6. Перестановки членов ряда....................... 373 Лекция 6 § 7.Арифметические операции над сходящимися рядами376 Лекция 7 § 8.Двойные и повторные ряды.............................................. 381 Глава XVI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.............................................................................. 388 Лекция 8 § 1.Сходимость функционального ряда................................. 388 § 2.Равномерная сходимость............................................... 391 Лекция 9 § 3.Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности........................................................... 394 § 4.Признаки равномерной сходимости.............................. 396 Лекция 10 § 5.Теорема Дини.................................................................... 401 § 6.Почленноедифференцированиеиинтегрирование ряда...................................................................... :............. 402 Лекция 11 § 7.Двойные и повторные пределы по базе множеств. 407 Лекция 12 § 8.Степенные ряды................................................................. 411 Лекция 13 § 9.Бесконечные произведения............................................... 416 Лекция 14 § 10. Бесконечные определители................................................ 422 § 11. Равностепенная непрерывность и теорема Арцела .. 425 Глава XVII. ИНТЕГРАЛЫ,ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА..................................................................................................... 428 Лекция 15 § 1.Собственные параметрические интегралы и их непрерывность ...................................................................... 428 § 2. Дифференцирование и интегрирование собственных параметрических интегралов ........................................... 431 Лекция 16 § 3.Теорема Лагранжа............................................................. 436 Лекция 17 § 4.Равномерная сходимость по Гейне................................... 439 § 5.Эквивалентностьдвухопределений «равномерной сходимости......................................................................... 440 Лекция 18 § 6.Равномерная сходимость несобственных параметрических интегралов.............................................................. 444 Лекция 19 § 7.Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру несобственных интегралов .... 449 Лекция 20 § 8.Несобственные интегралы второго рода.......................... 456 § 9.Применение теории параметрических интегралов ... 458 Лекция 21 § 10. Интегралы Эйлера первого и второго рода...................... 461 Лекция 22 §11. Формула Стирлинга............................................................ 467 Глава XVIII. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ................................... 471 Лекция 23 § 1.Представление дробной доли вещественного числа тригонометрическим рядом. Формула суммирования Пуассона. Суммы Гаусса ................................................. 471 Лекция 24 § 2.Неравенство Бесселя.Замкнутость и полнота ор- тонормированной системы функций................................. 482 Лекция 25 § 3.Замкнутость тригонометрической системы функций 488 § 4.Простейшие свойстватригонометрическихрядов Фурье.................................... :........................................... 493 Лекция 26 § 5.Интегральное представление для частичной суммы ряда Фурье.Принцип локализации Римана ................... 497 § 6.Признаки поточечной сходимости рядов Фурье............. 501 Лекция 27 § 7.Поведение коэффициентов Фурье..................................... 506 § 8.Разложение котангенса на простейшие дроби и пред ставление синуса в виде бесконечного произведения 509 §9.Задача Кеплера и ряды Бесселя......................................... 511 Лекция 28 § 10. Ядро Фейера и аппроксимационная теорема Вейер- штрасса.............................................................................. 514 § 11. ИнтегралДирихлеиразложениенапростейшие дроби.................................................................................. 517 Лекция 29 § 12. Преобразование Фурье и интеграл Фурье......................... 522 Лекция 30 § 13. Метод Лапласа и метод стационарной фазы........................ 534 ЧАСТЬ IV КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Глава XIX. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.................................................. 544 Лекция 1 § 1.Двойной интеграл Римана как предел по базе.................. 544 § 2.Суммы Дарбу и их свойства.............................................. 547 Лекция 2 § 3.Критерий Римана интегрируемости функции на прямоугольнике...................................................................... 550 § 4.Специальный критерий интегрируемости функции на прямоугольнике...................................................... ___ 553 Лекция 3 § 5.Измеримость по Жордану цилиндрической криволинейной фигуры................................... ;........................... 556 § 6.Понятие двойного интеграла Римана по ограниченной области, измеримой по Жордану............................... 558 Лекция 4 § 7.Основные свойства двойного интеграла........................... 562 § 8.Переход от двойного интеграла к повторному................. 564 § 9.Интегрируемость непрерывной функции на измеримом множестве.................................................................. 566 Лекция 5 § 10. Многократные интегралы.................................................. 568 § 11. Свойства гладкого отображения на выпуклом множестве.............................................................................. 572 Лекция 6 § 12. Объем области в криволинейных координатах. Теорема о замене переменных в кратном интеграле 575 Лекция 7 § 13. Критерий Лебега................................................................ 584 Лекция & § 14. Несобственные кратные интегралы.................................. 588 Лекция 9 § 15. Площадь поверхности....................................................... 595 § 16. Площадь m-мерной поверхности в евклидовом пространстве п измерений....................................................... 600 Глава XX. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ..................................................................................... 603 Лекция 10 § 1. Криволинейные интегралы................................................. 603 § 2.Свойства криволинейных интегралов............................... 604 Лекция 11 § 3.Криволинейные интегралы второго рода по замкнутому контуру. Формула Грина.......................................... 609 Лекция 12 § 4.Поверхностные интегралы ............................................... 614 § 5.Согласование ориентации поверхности, и ее границы618 Лекция 13 § 6.Формула Стокса ............................................................... 622 § 7.Формула Гаусса - Остроградского.................................... 624 Лекция 14 § 8.Криволинейныеинтегралы,зависящиетолько от пределов интегрирования .:................... ,.......................... 630 § 9.Элементы векторного анализа........................................... 633 Лекция 15 § 10. Потенциальное и соленоидальное векторные поля. 639Глава XXI. ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТОКСА....................................... 645 Лекция 16 § 1.Понятие ориентированной многомерной поверхности645 § 2.Согласование ориентации поверхности и ее границы в общем случае................................................................... 647 § 3. Дифференциальные формы............................................. 649 § 4.Замена переменных в дифференциальной форме... 649 Лекция 17 § 5.Интеграл от дифференциальной формы............................ 651 § 6.Операция внешнего дифференцирования......................... 654 § 7.Доказательство общей формулы Стокса........................... 656 Лекция 18 Дополнение. Равномерное распределение значений числовых последовательностей на отрезке........................................ 660 § 1.Понятие равномерного распределения. Лемма об оценке коэффициентов Фурье.............................................................. 660 § 2.Критерий Г.Вейля.................................................................................. 664 Примерные вопросы и задачи к коллоквиумам и экзаменам..................................................................................................... 674 Литература......................................................................................................... 684
----------------------------------------------
---------------------------------------------- | 