курс дифференциального и интегрального исчисления. ( в 3-х томах ) фихтенгольц г.м.- книгу скачать.

М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. т.1 - 616с.; т.2 - 810с.; т.3 - 662с.

Фундаментальный учебник по математическому анализу, выдержавший множество изданий и переведенный на ряд иностранных языков, отличается, с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, а с другой - простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами, иллюстрирующими теорию. "Курс..." предназначен для студентов университетов, педагогических и технических вузов и уже в течение длительного времени используется в различных учебных заведениях в качестве одного из основных учебных пособий. Он позволяет учащемуся не только овладеть теоретическим материалом, но и получить наиболее важные практические навыки. "Курс..." высоко ценится математиками как уникальная коллекция различных фактов анализа, часть которых невозможно найти в других книгах на русском языке. Первое издание вышло в 1948 г.

Том 1.

Формат: djvu

Размер: 6 Мб

Скачать: В  Учебный центр

Том 2.

Формат: djvu / zip

Размер: 6,8 Мб

Скачать: В  Учебный центр

Том 3.

Формат: djvu / zip

Размер: 5,7 Мб

Скачать / Download файл

Том 1. СОДЕРЖАНИЕВВЕДЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА§ 1. Область рациональных чисел 111. Предварительные замечания 112. Упорядочение области рациональных чисел 123. Сложение и вычитание рациональных чисел 124. Умножение и деление рациональных чисел 145. Аксиома Архимеда 16§ 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел6. Определение иррационального числа 177. Упорядочение области вещественных чисел 198. Вспомогательные предложения 219. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью 2210. Непрерывность области вещественных чисел 2411. Границы числовых множеств 25

§ 3. Арифметические действия над вещественными числами 2812. Определение суммы вещественных чисел 2813. Свойства сложения 2914. Определение произведения вещественных чисел 3115. Свойства умножения 3 216. Заключение 3417. Абсолютные величины 34 § 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел 3518. Существование корня. Степень с рациональным показателем 3519. Степень с любым вещественным показателем 3720. Логарифмы 3921. Измерение отрезков 40

ГЛАВА ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ§ 1. Варианта и ее предел 4322. Переменная величина, варианта 4323. Предел варианты 4624. Бесконечно малые величины 4725. Примеры 4826. Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел 5227. Бесконечно большие величины 54

§ 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов 5628. Предельный переход в равенстве и неравенстве 5629. Леммы о бесконечно малых 5730. Арифметические операции над переменными 5831. Неопределенные выражения 6032. Примеры на нахождение пределов 6233. Теорема Штольца и ее применения 67

§ 3. Монотонная варианта 7034. Предел монотонной варианты 7035. Примеры 7236. Число е 7731. Приближенное вычисление числа е 7938. Лемма о вложенных промежутках 82

§ 4. Принцип сходимости. Частичные пределы 8339. Принцип сходимости 8340. Частичные последовательности и частичные пределы 8541. Лемма Больцано—Вейерштрасса 8742. Наибольший и наименьший пределы 89

ГЛАВА ВТОРАЯ. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ§ 1. Понятие функции 9343. Переменная и область ее изменения 9344. Функциональная зависимость между переменными. Примеры 9445. Определение понятия функции 9546. Аналитический способ задания функции 9847. График функции 10048. Важнейшие классы функций 10249. Понятие обратной функции 10850. Обратные тригонометрические функции 11051. Суперпозиция функций. Заключительные замечания 114

§ 2. Предел функции 11552. Определение предела функции 11553. Сведение к случаю варианты 11754. Примеры 12055. Распространение теории пределов 12856. Примеры 13057. Предел монотонной функции 13358. Общий признак Больцано—Коши 13459. Наибольший и наименьший пределы функции 135

§ 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин 13660. Сравнение бесконечно малых 13661. Шкала бесконечно малых 13762. Эквивалентные бесконечно малые 13963. Выделение главной части 14164. Задачи 14365. Классификация бесконечно больших 145

§ 4. Непрерывность (и разрывы) функций 14666. Определение непрерывности функции в точке 14667. Арифметические операции над непрерывными функциями 14868. Примеры непрерывных функций 14869. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов 15070. Примеры разрывных функций 15171. Непрерывность и разрывы монотонной функции 15472. Непрерывность элементарных функций 15573. Суперпозиция непрерывных функций 15674. Решение одного функционального уравнения 15775. Функциональная характеристика показательной, логарифмической и степенной функций76. Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов77. Использование непрерывности функций для вычисления пределов 16278. Степенно-показательные выражения 16579. Примеры 166

§ 5. Свойства непрерывных функций 16880. Теорема об обращении функции в нуль 16881. Применение к решению уравнений 17082. Теорема о промежуточном значении 17183. Существование обратной функции 17284. Теорема об ограниченности функции 17485. Наибольшее и наименьшее значения функции 17586. Понятие равномерной непрерывности 17887. Теорема Кантора 179

88. Лемма Бореля 18089. Новые доказательства основных теорем 182ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ§ 1. Производная и ее вычисление 18690. Задача о вычислении скорости движущейся точки 18691. Задача о проведении касательной к кривой 18792. Определение производной 18993. Примеры вычисления производных 19394. Производная обратной функции 19695. Сводка формул для производных 19896. Формула для приращения функции 19897. Простейшие правила вычисления производных 19998. Производная сложной функции 20299. Примеры 203100. Односторонние производные 209101. Бесконечные производные 209102. Дальнейшие примеры особых случаев 211

§ 2. Дифференциал 211103. Определение дифференциала 211104. Связь между дифференцируемостью и существованием _ 1. производной105. Основные формулы и правила дифференцирования 215106. Инвариантность формы дифференциала 216107. Дифференциалы как источник приближенных формул 218108. Применение дифференциалов при оценке погрешностей 220

§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления 223109. Теорема Ферма 223110. Теорема Дарбу 224111. Теорема Ролля 225112. Формула Лагранжа 226113. Предел производной 228114. Формула Коши 229

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков 231115. Определение производных высших порядков 231116. Общие формулы для производных любого порядка 232117. Формула Лейбница 236118. Примеры 238119. Дифференциалы высших порядков 241120. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших _ ._ порядков121. Параметрическое дифференцирование 243122. Конечные разности 244

§ 5. Формула Тейлора 246123. Формула Тейлора для многочлена 246124. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано125. Примеры 251126. Другие формы дополнительного члена 254127. Приближенные формулы 257

§ 6. Интерполирование 263128. Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа 263129. Дополнительный член формулы Лагранжа 264130. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита 265ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ§ 1. Изучение хода изменения функции 268131. Условие постоянства функции 268132. Условие монотонности функции 270133. Доказательство неравенств 273134. Максимумы и минимумы; необходимые условия 276135. Достаточные условия. Первое правило 278136. Примеры 280137. Второе правило 284138. Использование высших производных 286139. Разыскание наибольших и наименьших значений 288140. Задачи 290

§ 2. Выпуклые (и вогнутые) функции 294141. Определение выпуклой (вогнутой) функции 294142. Простейшие предложения о выпуклых функциях 296143. Условия выпуклости функции 298144. Неравенство Иенсена и его приложения 301145. Точки перегиба 303

§ 3. Построение графиков функций 305146. Постановка задачи 305147. Схема построения графика. Примеры 306148. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты 308149. Примеры 311

§ 4. Раскрытие неопределенностей 314150. Неопределенность вида 0/0 314151. Неопределенность вида оо / оо 320152. Другие виды неопределенностей 322

§ 5. Приближенное решение уравнении 324153. Вводные замечания 3 24154. Правило пропорциональных частей (метод хорд) 325155. Правило Ньютона (метод касательных) 328156. Примеры и упражнения 331157. Комбинированный метод 335158. Примеры и упражнения 336

ГЛАВА ПЯТАЯ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ§ 1. Основные понятия 340159. Функциональная зависимость между переменными. Примеры 340160. Функции двух переменных и области их определения 341161. Арифметическое n-мерное пространство 345162. Примеры областей в n-мерном пространстве 348163. Общее определение открытой и замкнутой области 350164. Функции п переменных 352165. Предел функции нескольких переменных 354166. Сведение к случаю варианты 356167. Примеры 358168. Повторные пределы 360§ 2. Непрерывные функции 362169. Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных 362170. Операции над непрерывными функциями 364171. Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано—Коши 365172. Лемма Больцано—Вейерштрасса 367173. Теоремы Вейерштрасса 369174. Равномерная непрерывность 370175. Лемма Бореля 372176. Новые доказательства основных теорем 373176. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных 373177. Частные производные и частные дифференциалы 375178. Полное приращение функции 378179. Полный дифференциал 381180. Геометрическая интерпретация для случая функции двух _ R_ переменных181. Производные от сложных функций 386182. Примеры 388183. Формула конечных приращений 390184. Производная по заданному направлению 391185. Инвариантность формы (первого) дифференциала 394186. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях 396187. Однородные функции 399188. Формула Эйлера 400

§ 4. Производные в дифференциалы высших порядков 402189. Производные высших порядков 402190. Теорема о смешанных производных 404191. Обобщение 407192. Производные высших порядков от сложной функции 408193. Дифференциалы высших порядков 410194. Дифференциалы сложных функций 413195. Формула Тейлора 414

§ 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения 417196. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые . 17 условия197. Достаточные условия (случай функции двух переменных) 419198. Достаточные условия (общий случай) 422199. Условия отсутствия экстремума 425200. Наибольшее и наименьшее значения функций. Примеры 427201. Задачи 431ГЛАВА ШЕСТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ§ 1. Формальные свойства функциональных определителей 441202. Определение функциональных определителей (якобианов) 441203. Умножение якобианов 442204. Умножение функциональных матриц (матриц Якоби) 444

§ 2. Неявные функции 447205. Понятие неявной функции от одной переменной 447206. Существование неявной функции 449207. Дифференцируемость неявной функции 451208. Неявные функции от нескольких переменных 453209. Вычисление производных неявных функций 460210. Примеры 463

§ 3. Некоторые приложения теории неявных функции 467211. Относительные экстремумы 467212. Метод неопределенных множителей Лагранжа 470213. Достаточные для относительного экстремума условия 472214. Примеры и задачи 473215. Понятие независимости функций 477216. Ранг матрицы Якоби 479

§ 4. Замена переменных 483217. Функции одной переменной 483218. Примеры 485219. Функции нескольких переменных. Замена независимых .„„ переменных220. Метод вычисления дифференциалов 489221. Общий случай замены переменных 491222. Примеры 493ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ§ 1. Аналитическое представление кривых и поверхностей 503223. Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах) 503224. Примеры 505225. Кривые механического происхождения 508226. Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры 511227. Поверхности и кривые в пространстве 516228. Параметрическое представление 518229. Примеры 520

§ 2. Касательная и касательная плоскость 523230. Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах 523231. Примеры 525232. Касательная в полярных координатах 528233. Примеры 529234. Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость к поверхности235. Примеры 534236. Особые точки плоских кривых 535237. Случай параметрического задания кривой 540

§ 3. Касание кривых между собой 542238. Огибающая семейства кривых 542239. Примеры 545240. Характеристические точки 549241. Порядок касания двух кривых 551242. Случай неявного задания одной из кривых 553243. Соприкасающаяся кривая 554244. Другой подход к соприкасающимся кривым 556

§ 4. Длина плоской кривой 557245. Леммы 557246. Направление на кривой 558247. Длина кривой. Аддитивность длины дуги 560248. Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги 562249. Дуга в роли параметра. Положительное направление касательной 565

§ 5. Кривизна плоской кривой 568250. Понятие кривизны 568251. Круг кривизны и радиус кривизны 571252. Примеры 573253. Координаты центра кривизны254. Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты255. Свойства эволют и эвольвент256. Разыскание эвольвентДОПОЛНЕНИЕ. ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ257. Случай функции одной переменной258. Постановка задачи для двумерного случая259. Вспомогательные предложения260. Основная теорема о распространении261. Обобщение262. Заключительные замечания

Алфавитный указатель 600

Том 2. СОДЕРЖАНИЕГЛАВА ВОСЬМАЯ. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления 11263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) 11264. Интеграл и задача об определении площади 14265. Таблица основных интегралов 17266. Простейшие правила интегрирования 18267. Примеры 19268. Интегрирование путем замены переменной 23269. Примеры 27270. Интегрирование по частям 31271. Примеры 32

§ 2. Интегрирование рациональных выражений 36272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде 36273. Простые дроби и их интегрирование 37274. Разложение правильных дробей на простые 38275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей 42276. Выделение рациональной части интеграла 43277. Примеры 47§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы 50278. Интегрирование выражений вида R .ух + 8279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры 51280. Формулы приведения 54281. Интегрирование выражений вида К/х,л1ах2 + Ьх + с). Подстановки -^ Эйлера282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок 59283. Примеры 60284. Другие приемы вычисления 66285. Примеры 72§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции 74286. Интегрирование дифференциалов i?(sin x, cos x) дх 74287. Интегрирование выражений sinv xcosto 76288. Примеры 78289. Обзор других случаев 83 § 5. Эллиптические интегралы 84290. Общие замечания и определения 84291. Вспомогательные преобразования 86292. Приведение к канонической форме 88293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода 90

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ§ 1. Определение и условия существования определенного интеграла 94294. Другой подход к задаче о площади 94295. Определение 96296. Суммы Дарбу 97297. Условие существования интеграла 100298. Классы интегрируемых функций 101299. Свойства интегрируемых функций 103300. Примеры и дополнения 105301. Нижний и верхний интегралы как пределы 106

§ 2. Свойства определенных интегралов 108302. Интеграл по ориентированному промежутку 108303. Свойства, выражаемые равенствами 109304. Свойства, выражаемые неравенствами 110305. Определенный интеграл как функция верхнего предела 115306. Вторая теорема о среднем значении 117

§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов 120307. Вычисление с помощью интегральных сумм 120308. Основная формула интегрального исчисления 123309. Примеры 125310. Другой вывод основной формулы 128311. Формулы приведения 130312. Примеры 131313. Формула замены переменной в определенном интеграле 134314. Примеры 135315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена 141316. Другой вывод формулы замены переменной 143

§ 4. Некоторые приложения определенных интегралов 145317. Формула Валлиса 145318. Формула Тейлора с дополнительным членом 146319. Трансцендентность числа е 146320. Многочлены Лежандра 148321. Интегральные неравенства 151

§ 5. Приближенное вычисление интегралов 153322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций 153323. Параболическое интерполирование 156324. Дробление промежутка интегрирования 158325. Дополнительный член формулы прямоугольников 159326. Дополнительный член формулы трапеций 161327. Дополнительный член формулы Симпсона 162328. Примеры 164ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ§ 1. Длина кривой 169329. Вычисление длины кривой 169330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению331. Примеры 174332. Натуральное уравнение плоской кривой 180333. Примеры 183334. Длина дуги пространственной кривой 185

§ 2. Площади и объемы 186335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности 186336. Площадь как предел 188337. Классы квадрируемых областей 190338. Выражение площади интегралом 192339. Примеры 195340. Определение понятия объема. Его свойства 202341. Классы тел, имеющих объемы 204342. Выражение объема интегралом 205343. Примеры 208344. Площадь поверхности вращения 214345. Примеры 217346. Площадь цилиндрической поверхности 220347. Примеры 222

§ 3. Вычисление механических и физических величин 225348. Схема применения определенного интеграла 225349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой 228350. Примеры 229351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры352. Примеры 232353. Механическая работа 233354. Примеры 235355. Работа силы трения в плоской пяте 237356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов 239

§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения 244357. Основные понятия. Уравнения первого порядка 244358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение переменных359. Задачи 247360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений 253361. Задачи 254ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ§ 1. Введение 257362. Основные понятия 257363. Примеры 258364. Основные теоремы 260

§ 2. Сходимость положительных рядов 262365. Условие сходимости положительного ряда 262366. Теоремы сравнения рядов 264367. Примеры 266368. Признаки Коши и Даламбера 270369. Признак Раабе 272370. Примеры 274371. Признак Куммера 277372. Признак Гаусса 279373. Интегральный признак Маклорена—Коши 281374. Признак Ермакова 285375. Дополнения 287

§ 3. Сходимость произвольных рядов 293376. Общее условие сходимости ряда 293377. Абсолютная сходимость 294378. Примеры 296379. Степенной ряд, его промежуток сходимости 298380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты 300381. Знакопеременные ряды 3 02382. Примеры 303383. Преобразование Абеля 305384. Признаки Абеля и Дирихле 307385. Примеры 308

§ 4. Свойства сходящихся рядов 313386. Сочетательное свойство 3133 87. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов 315388. Случай неабсолютно сходящихся рядов 316389. Умножение рядов 320390. Примеры 323391. Общая теорема из теории пределов 325392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов 327

§ 5. Повторные и двойные ряды 329393. Повторные ряды 329394. Двойные ряды 333395. Примеры 338396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости 346397. Примеры 348398. Кратные ряды 350

§ 6. Бесконечные произведения 350399. Основные понятия 350400. Примеры 351401. Основные теоремы. Связь с рядами 353402. Примеры 356

§ 7. Разложения элементарных функций 364403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора 364404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических функций и др.405. Логарифмический ряд 368406. Формула Стерлинга 369407. Биномиальный ряд 371408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения 374

§ 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов 378409. Общие замечания 378410. Вычисление числа к 379411. Вычисление логарифмов 381412. Вычисление корней 383413. Преобразование рядов по Эйлеру 3 84414. Примеры 386415. Преобразование Куммера 388416. Преобразование Маркова 392

§ 9. Суммирование расходящихся рядов 394417. Введение 394418. Метод степенных рядов 396419.Теорема Тау бера 398420. Метод средних арифметических 401421. Взаимоотношение между методами Пуассона—Абеля и Чезаро 403422. Теорема Харди—Ландау 405423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов 407424. Другие методы обобщенного суммирования рядов 408425. Примеры 413426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования 416ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ§ 1. Равномерная сходимость 419427. Вводные замечания 419428. Равномерная и неравномерная сходимости 421429. Условие равномерной сходимости 425430. Признаки равномерной сходимости рядов 427

§ 2. Функциональные свойства суммы ряда 430431. Непрерывность суммы ряда 430432. Замечание о квази-равномерной сходимости 432433. Почленный переход к пределу 434434. Почленное интегрирование рядов 436435. Почленное дифференцирование рядов 438436. Точка зрения последовательности 441437. Непрерывность суммы степенного ряда 444438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов 447

§ 3. Приложения 450439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход к пределу440. Примеры на почленное интегрирование рядов 457441. Примеры на почленное дифференцирование рядов 468442. Метод последовательных приближений в теории неявных функций 474443. Аналитическое определение тригонометрических функций 477444. Пример непрерывной функции без производной 479

§ 4. Дополнительные сведения о степенных рядах 481445. Действия над степенными рядами 481446. Подстановка ряда в ряд 485447. Примеры 487448. Деление степенных рядов 492449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются 494450. Решение уравнений рядами 498451. Обращение степенного ряда 502452. Ряд Лагранжа 505

§ 5. Элементарные функции комплексной переменной 508453. Комплексные числа 508454. Комплексная варианта и ее предел 511455. Функции комплексной переменной 513456. Степенные ряды 515457. Показательная функция 518458. Логарифмическая функция 520459. Тригонометрические функции и им обратные 522460. Степенная функция 526461. Примеры 527

§ 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера—Маклорена 531462. Примеры 531463. Определения 533464. Основные свойства асимптотических разложений 536465. Вывод формулы Эйлера—Маклорена 540466. Исследование дополнительного члена 542467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера—Маклорена 544468. Другой вид формулы Эйлера—Маклорена 547469. Формула и ряд Стерлинга 550

ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами 552470. Определение интегралов с бесконечными пределами 552471. Применение основной формулы интегрального исчисления 554472. Примеры 555473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы 558474. Сходимость интеграла в случае положительной функции 559475. Сходимость интеграла в общем случае 561476. Признаки Абеля и Дирихле 563477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду 566478. Примеры 569

§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций 577479. Определение интегралов от неограниченных функций 577480. Замечание относительно особых точек 581481. Применение основной формулы интегрального исчисления. Примеры482. Условия и признаки существования интеграла 584483. Примеры 587484. Главные значения несобственных интегралов 590485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов 595

§ 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов 597486. Простейшие свойства 597487. Теоремы о среднем значении 600488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов 602489. Примеры 602490. Замена переменных в несобственных интегралах 604491. Примеры 605

§ 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов 611492. Некоторые замечательные интегралы 611493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм. Случай интегралов с конечными пределами494. Случай интегралов с бесконечным пределом 617495. Интегралы Фруллани 621496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными пределами497. Смешанные примеры и упражнения 629

§ 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов 641498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей 641499. Примеры 642500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным пределом502. Использование асимптотических разложений 650ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА§ 1. Элементарная теория 654503. Постановка задачи 654504. Равномерное стремление к предельной функции 654505. Перестановка двух предельных переходов 657506. Предельный переход под знаком интеграла 659507. Дифференцирование под знаком интеграла 661508. Интегрирование под знаком интеграла 663509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра 665510. Введение множителя, зависящего лишь от х 668511. Примеры 669512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры 680§ 2. Равномерная сходимость интегралов 682513. Определение равномерной сходимости интегралов 682514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами 684515. Достаточные признаки равномерной сходимости 684516. Другой случай равномерной сходимости 687517. Примеры 689

§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов 694518. Предельный переход под знаком интеграла 694519. Примеры 697520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру 710521. Интегрирование интеграла по параметру 714522. Применение к вычислению некоторых интегралов 717523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла 723524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла 733

§ 4. Дополнения 743525. Лемма Арцела 743526. Предельный переход под знаком интеграла 745527. Дифференцирование под знаком интеграла 748528. Интегрирование под знаком интеграла 749

§ 5. Эйлеровы интегралы 750529. Эйлеров интеграл первого рода 750530. Эйлеров интеграл второго рода 753531. Простейшие свойства функции Г 754532. Однозначное определение функции Г ее свойствами 760533. Другая функциональная характеристика функции Г 762534. Примеры 764535. Логарифмическая производная функции Г 770536. Теорема умножения для функции Г 772537. Некоторые разложения в ряды и произведения 774538. Примеры и дополнения 775539. Вычисление некоторых определенных интегралов 782540. Формула Стерлинга 789541. Вычисление эйлеровой постоянной 792542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г 793Алфавитный указатель 795Алфавитный указатель

Том 3. СОДЕРЖАНИЕГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА§ 1. Криволинейные интегралы первого типа 11543. Определение криволинейного интеграла первого типа 11544. Сведение к обыкновенному определенному интегралу 13545. Примеры 15

§ 2. Криволинейные интегралы второго типа 20546. Определение криволинейных интегралов второго типа 20547. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго типа548. Случай замкнутого контура. Ориентация плоскости 25549. Примеры 27550. Приближение с помощью интеграла, взятого по ломаной 30551. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов 32552. Примеры 35553. Связь между криволинейными интегралами обоих типов 38554. Физические задачи 40 § 3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути 45555. Постановка задачи, связь с вопросом о точном дифференциале 45556. Дифференцирование интеграла, не зависящего от пути 46557. Вычисление криволинейного интеграла через первообразную 49558. Признак точного дифференциала и нахождение первообразной в случае прямоугольной области559. Обобщение на случай произвольной области 52560. Окончательные результаты 55561. Интегралы по замкнутому контуру 56562. Случай неодносвязной области или наличия особых точек 57563. Интеграл Гаусса 62564. Трехмерный случай 64565. Примеры 67566. Приложение к физическим задачам 71§ 4. Функции с ограниченным изменением 74567. Определение функции с ограниченным изменением 74568. Классы функций с ограниченным изменением 76569. Свойства функций с ограниченным изменением 79570. Критерии для функций с ограниченным изменением 82571. Непрерывные функции с ограниченным изменением 84572. Спрямляемые кривые 87

§ 5. Интеграл Стилтьеса 89573. Определение интеграла Стилтьеса 89574. Общие условия существования интеграла Стилтьеса 91575. Классы случаев существования интеграла Стилтьеса 92576. Свойства интеграла Стилтьеса 95577. Интегрирование по частям 97578. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана 98579. Вычисление интегралов Стилтьеса 100580. Примеры 104581. Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса 111582. Теорема о среднем, оценки 112583. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса 114584. Примеры и дополнения 115585. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу СтилтьесаГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ§ 1. Определение и простейшие свойства двойного интеграла 122586. Задача об объеме цилиндрического бруса 122587. Сведение двойного интеграла к повторному 123588. Определение двойного интеграла 125589. Условия существования двойного интеграла 127590. Классы интегрируемых функций 128591. Нижний и верхний интегралы как пределы 130592. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов 131593. Интеграл, как аддитивная функция области; дифференцирование по области§ 2. Вычисление двойного интеграла 137594. Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области595. Примеры 141596. Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области597. Примеры 152598. Механические приложения 165599. Примеры 167

§ 3. Формула Грина 174600. Вывод формулы Грина 174601. Приложение формулы Грина к исследованию криволинейных интегралов602. Примеры и дополнения 179

§ 4. Замена переменных в двойном интеграле 182603. Преобразование плоских областей 182604. Примеры 184605. Выражение площади в криволинейных координатах 189606. Дополнительные замечания 192607. Геометрический вывод 194608. Примеры 196609. Замена переменных в двойных интегралах 204610. Аналогия с простым интегралом. Интеграл по ориентированной области611. Примеры 207

§ 5. Несобственные двойные интегралы 214612. Интегралы, распространенные на неограниченную область 214613. Теорема об абсолютной сходимости несобственного двойного интеграла614. Приведение двойного интеграла к повторному 219615. Интегралы от неограниченных функций 221616. Замена переменных в несобственных интегралах 223617. Примеры 225ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ§ 1. Двусторонние поверхности 241618. Сторона поверхности 241617. Примеры 243620. Ориентация поверхностей и пространства 244621. Выбор знака в формулах для направляющих косинусов нормали 246622. Случай кусочно-гладкой поверхности 247

§ 2. Площадь кривой поверхности 248623. Пример Шварца 248624. Определение площади кривой поверхности 251625. Замечание 252626. Существование площади поверхности и ее вычисление 253627. Подход через вписанные многогранные поверхности 258628. Особые случаи определения площади 259629. Примеры 260

§ 3. Поверхностные интегралы первого типа 274630. Определение поверхностного интеграла первого типа 274631. Сведение к обыкновенному двойному интегралу 275632. Механические приложения поверхностных интегралов первого типа 277633. Примеры 279

§ 4. Поверхностные интегралы второго типа 285634. Определение поверхностного интеграла второго типа 285635. Простейшие частные случаи 287636. Общий случай 290637. Деталь доказательства 292638. Выражение объема тела поверхностным интегралом 293639. Формула Стокса 297640. Примеры 299641. Приложение формулы Стокса к исследованию криволинейных интегралов в пространствеГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ. ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ§ 1. Тройной интеграл и его вычисление 308642. Задача о вычислении массы тела 308643. Тройной интеграл и условия его существования 309644. Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов 310645. Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед646. Вычисление тройного интеграла по любой области 314647. Несобственные тройные интегралы 315648. Примеры 316649. Механические приложения 323650. Примеры 325

§ 2. Формула Гаусса—Остроградского 333651. Формула Остроградского 333652. Приложение формулы Остроградского к исследованию поверхностных интегралов653. Интеграл Гаусса 336654. Примеры 338

§ 3. Замена переменных в тройных интегралах 342655. Преобразование пространств и криволинейные координаты 342656. Примеры 343657. Выражение объема в криволинейных координатах 345658. Дополнительные замечания 348659. Геометрический вывод 349660. Примеры 350661. Замена переменных в тройных интегралах 358662. Примеры 359663. Притяжение со стороны тела и потенциал на внутреннюю точку 364

§ 4. Элементы векторного анализа 366664. Скаляры и векторы 366665. Скалярное и векторное поля 367666. Градиент 368667. Поток вектора через поверхность 370668. Формула Остроградского. Дивергенция 371669. Циркуляция вектора. Формула Стокса. Вихрь 372670. Специальные поля 374671. Обратная задача векторного анализа 378672. Приложения 378

§ 5. Многократные интегралы 384673. Задача о притяжении и потенциале двух тел 384674. Объем n-мерного тела, n-кратный интеграл 386675. Замена переменных в n-кратном интеграле 388676. Примеры 391ГЛАВА ДЕВЯТНАДЦАТАЯ. РЯДЫ ФУРЬЕ§ 1.Введение 414677. Периодические величины и гармонический анализ 414678. Определение коэффициентов по методу Эйлера—Фурье 417679. Ортогональные системы функций 419680. Тригонометрическое интерполирование 424

§ 2. Разложение функций в ряд Фурье 427681. Постановка вопроса. Интеграл Дирихле 427682. Первая основная лемма 429683. Принцип локализации 432684. Признаки Дини и Липшица сходимости рядов Фурье 433685. Вторая основная лемма 436686. Признак Дирихле—Жордана 438687. Случай непериодической функции 440688. Случай произвольного промежутка 441689. Разложения только по косинусам или только по синусам 442690. Примеры 446691. Разложение In Г(х) 461

§ 3. Дополнения 463692. Ряды с убывающими коэффициентами 463693. Суммирование тригонометрических рядов с помощью аналитических функций комплексной переменной694. Примеры 472695. Комплексная форма рядов Фурье 477696. Сопряженный ряд 480697. Кратные ряды Фурье 483

§ 4. Характер сходимости рядов Фурье 484698. Некоторые дополнения к основным леммам 484699. Признаки равномерной сходимости рядов Фурье 487700. Поведение ряда Фурье вблизи точки разрыва; частный случай 490701. Случай произвольной функции 495702. Особенности рядов Фурье; предварительные замечания 497703. Построение особенностей 500

§ 5. Оценка остатка в зависимости от дифференциальных свойств функции 502704. Связь между коэффициентами Фурье функции и ее производных 502705. Оценка частичной суммы в случае ограниченной функции 503706. Оценка остатка в случае функции с ограниченной k-й производной 505707. Случай функции, имеющей k-ю производную с ограниченным изменением708. Влияние разрывов функции и ее производных на порядок малости коэффициентов Фурье709. Случай функции, заданной в промежутке [0, к] 514710. Метод выделения особенностей 516

§ 6. Интеграл Фурье 524711. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье 524712. Предварительные замечания 526713. Достаточные признаки 527714. Видоизменение основного предположения 529715. Различные виды формулы Фурье 532716. Преобразование Фурье 534717. Некоторые свойства преобразований Фурье 537718. Примеры и дополнения 538719. Случай функции двух переменных 545

§ 7. Приложения 547720. Выражение эксцентрической аномалии планеты через ее среднюю аномалию721. Задача о колебании струны 549722. Задача о распространении тепла в конечном стержне 553723. Случай бесконечного стержня 557724. Видоизменение предельных условий 559725. Распространение тепла в круглой пластине 561726. Практический гармонический анализ. Схема для двенадцати ординат727. Примеры 565728. Схема для двадцати четырех ординат 569729. Примеры 570730. Сопоставление приближенных и точных значений коэффициентов ФурьеГЛАВА ДВАДЦАТАЯ. РЯДЫ ФУРЬЕ (продолжение)§ 1. Операции над рядами Фурье. Полнота и замкнутость 574731. Почленное интегрирование ряда Фурье 574732. Почленное дифференцирование ряда Фурье 577733. Полнота тригонометрической системы 578734. Равномерная аппроксимация функций. Теоремы Вейерштрасса 580735. Аппроксимация функций в среднем. Экстремальные свойства отрезков ряда Фурье736. Замкнутость тригонометрической системы. Теорема Ляпунова 586737. Обобщенное уравнение замкнутости 589738. Умножение рядов Фурье 592739. Некоторые приложения уравнения замкнутости 593

§ 2. Применение методов обобщенного суммирования к рядам Фурье 599740. Основная лемма 599741. Суммирование рядов Фурье по методу Пуассона—Абеля 601742. Решение задачи Дирихле для круга 605743. Суммирование рядов Фурье по методу Чезаро—Фейера 607744. Некоторые приложения обобщенного суммирования рядов Фурье 609745. Почленное дифференцирование рядов Фурье 611

§ 3. Единственность тригонометрического разложения функции 613746. Вспомогательные предложения об обобщенных производных 613747. Риманов метод суммирования тригонометрических рядов 616748. Лемма о коэффициентах сходящегося ряда 620749. Единственность тригонометричеекого разложения 621750. Заключительные теоремы о рядах Фурье 623751. Обобщение 626

ДОПОЛНЕНИЕ. ОБЩАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ НА ПРЕДЕЛ752. Различные виды пределов, встречающиеся в анализе 631753. Упорядоченные множества (в собственном смысле) 632754. Упорядоченные множества (в обобщенном смысле) 633755. Упорядоченная переменная и ее предел 636756. Примеры 637757. Замечание о пределе функции 639758. Распространение теории пределов 640759. Одинаково упорядоченные переменные 643760. Упорядочение с помощью числового параметра 644761. Сведение к варианте 645762. Наибольший и наименьший пределы упорядоченной переменной 647

----------------------------------------------

----------------------------------------------