Определенный интеграл. теория и практика вычислений. садовничая и.в., хорошилова е.в.- книгу скачать.
М.: ВМиК МГУ, МАКС Пресс, 2008. — 528 с. Издание посвящено теоретическим и практическим аспектам вычисления определенных интегралов, а также методам их оценок, свойствам и приложениям к решению различных геометрических и физических задач. Книга содержит разделы, посвященные методам вычисления собственных интегралов, свойствам несобственных интегралов, геометрическим и физическим приложениям определённого интеграла, а также некоторым обобщениям интеграла Римана - интегралам Лебега и Стилтьеса. Изложение теоретического материала подкреплено большим количеством (более 220) разобранных примеров вычисления, оценок и исследования свойств определённых интегралов; в конце каждого параграфа приводятся задачи для самостоятельного решения (более 640, подавляющее большинство - с решениями).Цель пособия - помочь студенту во время прохождения темы «Определенный интеграл» на лекциях и практических занятиях. К нему может обратиться студент для получения справочной информации по возникшему вопросу. Книга также может быть полезна преподавателям и всем желающим изучить данную тему достаточно подробно и широко. Для студентов университетов, в том числе математических специальностей, изучающих интегральное исчисление в рамках курса математического анализа. Формат: pdf / zip Размер: 4,4 Мб Скачать: Народ.Диск Onlinedisk RGhost СОДЕРЖАНИЕПредисловие 8§ 1. Определённый интеграл Римана1.1. Историческая справка 111.2. Определение интеграла Римана 141.2.1. Интегральные суммы и интеграл Римана 141.2.2. Вычисление определённых интегралов по определению, т.е. переходом к пределу интегральных сумм 161.2.3. Геометрический смысл определённого интеграла 171.2.4. Суммы и интегралы Дарбу 181.2.5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости 231.3. Основные классы интегрируемых функций 241.3.1. Функции, непрерывные на сегменте 241.3.2. Ограниченные на сегменте функции, множество точек разрыва которых имеет меру нуль поЖордану 251.3.3. Ограниченные на сегменте функции, множество точек разрыва которых имеет меру нуль по Лебегу 271.3.4. Функции, монотонные на сегменте 271.3.5. Интегрирование сложных функций 281.4. Свойства определённого интеграла, выражаемые равенствами 311.5. Интегралы с переменным верхним (нижним) пределом. Формула Ньютона-Лейбница 35Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 41§ 2. Оценки определённых интегралов: теоремы о среднем, интегральные неравенства2.1.Свойства определённого интеграла, связанные с неравенствами. ... 532.2. Интегральные теоремы о среднем.2.2.1. Первая теорема о среднем. Среднее значение функции 572.2.2. Вторая теорема о среднем 622.3. Некоторые известные интегральные неравенства.2.3.1. Неравенство Коши-Буняковского 652.3.2. Неравенство Коши 672.3.3. Неравенство Гёлъдера 6823.4. Неравенство Минковского 682.3.5. Неравенства для выпуклых функций 70Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 73§ 3. Основные методы вычисления определённых интегралов3.1. Интегрирование путём сведения к табличным (или известным) интегралам с помощью различных преобразований 813.2. Интегрирование путём замены переменной 893.3. Интегрирование по частям 993.4. Другие способы вычисления определённых интегралов 1053.5. Интегрирование специальных классов функций 1073.5.1. Интегрирование периодических функций 1083.5.2. Интегрирование функций, график которых имеет ось (центр) симметрии в середине промежутка интегрирования 1103.5.3. Интегрирование взаимно обратных функций 111Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 112§ 4. Несобственные интегралы4.1. Понятия несобственных интегралов 1-го и 2-го рода и связь между ними. Сходимость (расходимость) интеграла.4.1.1. Несобственный интеграл 1-города 1234.1.2. Несобственный интеграл 2-города 1264.2. Понятие среднего значения функции на неограниченном промежутке. Сходимость интеграла в смысле главного значения (по Коши).4.2.1. Среднее значение функции, интегрируемой на неограниченном промежутке 1294.2.2. Сходимость в смысле главного значения (по Коши) 1304.2.3. Среднее значение несобственного интеграла 1354.3. Критерий Коши сходимости (расходимости) несобственного интеграла 1364.4. Свойства несобственного интеграла 1384.5. Теоремы о среднем 1464.6. Вычисление несобственных интегралов.4.6.1. Формула Ньютона-Лейбница 1474.6.2. Формула замены переменной 1494.6.3. Формула интегрирование по частям 1504.7. Исследование сходимости несобственных интегралов 1534.7.1. Необходимые и достаточные условия сходимости интегралов от неотрицательных функций. Теорема сравнения 1544.7.2. 1-й признак сравнения (признак абсолютной сходимости) 1574.7.3. 2-й признак сравнения 1574.7.4. 3-й признак сравнения (признак сравнения со степенью) 1624.7.5. Признак Дирихле 1654.7.6. Признак Абеля 1684.7.7. Признак Коши 1694.7.8. Использование формулы Тейлора при исследовании сходимости интеграла 1714.7.9. Абсолютная (условная) сходимость несобственного интеграла . . . 1744.8. Другие виды задач, связанных с несобственными интегралами. . . .1814.9. Некоторые известные несобственные интегралы.1. Интегральные синус и косинус 1832. Интеграл Эйлера-Пуассона 1833. Интегралы Френеля 1844. Интегралы Эйлера 1845. Интеграл Дирихле 1846. Интегралы Лапласа 1847. Гамма- и бета-функции 1848. Интегралы Фруллани 184Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 185§ 5. Вычисление площади плоской фигуры5.1. Плоская фигура и связанные с ней понятия 1905.2. Квадрируемая фигура и её площадь 1915.3. Необходимые и достаточные условия квадрируемости. Классы квадрируемых фигур 1935.4. Площадь в декартовых координатах.5.4.1. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана явно 1985.4.2. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана параметрически. 2075.4.3. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана неявно уравнением F(x,y) = 0 2125.5. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.5.5.1. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана явно 2175.5.2. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана параметрически. 2245.5.3. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана неявно уравнением F{r, >р) = 0 225Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 227§ 6. Вычисление длины дуги кривой6.1. Кривая на плоскости и связанные с ней понятия 2316.2. Спрямляемая кривая и длина её дуги 2356.3. Основные классы спрямляемых кривых. Вычисление длины дуги.6.3.1. Случай параметрического задания кривой в декартовых координатах 2386.3.2. Случай явного задания кривой в декартовых координатах 2516.3.3. Случай неявного задания кривой в декартовых координатах 2536.3.4. Случай явного задания кривой в полярных координатах 2556.3.5. Случай параметрического задания в полярных координатах 2586.3.6. Случай неявного задания кривой в полярных координатах 259Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 260§ 7. Вычисление объёмов тел7.1. Пространственное тело и связанные с ним понятия 2647.2 Понятие кубируемого тела. Объём тела 2677.3. Необходимые и достаточные условия кубируемости. Классы кубируемых тел 2707.4. Вычисление объёма тела по известным площадям поперечных сечений 2727.5. Объём тела вращения в декартовых координатах7.5.1. Криволинейная трапеция задана стандартно относительно оси Ох и вращается вокруг оси Ох 2787.5.2. Криволинейная трапеция задана стандартно относительно оси Ох и вращается вокруг оси Оу 2897.5.3. Вращение вокруг оси, не совпадающей ни с одной из координатных осей 2967.6. Объём тела вращения в полярных координатах7.6.1. Переход от полярных координат к прямоугольным координатам. . 2997.6.2. Вычисление объёма непосредственно в полярных координатах. . . . 3007.6.3. Случай вращения вокруг луча (р = Я/2 3027.6.4. Переход от прямоугольных координат к полярным координатам. . 3037.6.5. Случай вращения вокруг произвольной прямой 305Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 309§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения8.1. Понятие кривой поверхности и способы её задания. Гладкая поверхность. Одно- и двусторонние поверхности 3138.2. Алгебраические поверхности 1-го и 2-го порядков 3188.3. Квадрируемость кривой поверхности и её площадь 3198.4. Поверхность вращения и её площадь 3208.5. Площадь поверхности вращения в декартовых координатах 3228.5.1. Вращение вокруг оси Ох 3228.5.2. Вращение вокруг оси Оу 3308.5.3. Вращение вокруг произвольной оси 3338.6. Площадь поверхности вращения в полярных координатах 3388.6.1. Вращение вокруг полярной оси 3388.6.2. Вращение вокруг прямой, перпендикулярной полярной оси 3408.6.3. Вращение вокруг произвольной оси 340Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 344§ 9. Физические приложения определённого интеграла9.1. Масса плоской кривой 3469.2. Статические моменты, моменты инерции и центры тяжести плоских кривых и фигур.9.2.1. Случай плоской кривой 3479.2.2. Случай плоской фигуры 3539.3. Вычисление пути, работы переменной силы и другие примеры простейших физических задач 362Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 366§ 10. Мера и интеграл Лебега10.1. История вопроса 36910.2. Используемые понятия.10.2.1. Эквивалентные множества. Операции над множествами 37010.2.2. Счётные и несчётные множества 37110.2.3. Открытые и замкнутые множества 37210.2.4. Числовой ряд и его сумма. Сходимость ряда 37310.3. Мера множества 37410.4. Измеримые функции 37610.5. Интеграл Лебега.10.5.1. Определение интеграла Лебега от ограниченной функции 37910.5.2. Связь между интегралами Римана и Лебега. Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функций 38010.5.3. Интеграл Лебега как предел лебеговских интегральных сумм. 38110.5.4. Свойства интеграла Лебега 381Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 385§11. Интеграл Стилтьеса11.1. Понятие об интеграле Стилтьеса как линейном функционале на пространстве непрерывных функций 38611.2. Функции ограниченной вариации и их свойства. Определение интеграла Стилтьеса 38711.3. Условия существования интеграла Стилтьеса 39111.4. Свойства интеграла Стилтьеса 394Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 399Ответы и решения 401Приложение 523Предметный указатель 524Список использованной литературы 526
----------------------------------------------
---------------------------------------------- |
