Элементарная геометрия. в 2-х т. планиметрия. стереометрия. понарин я.п.- книгу скачать.
 
М.: МЦНМО, Т.1 - 2004, 312с.; Т.2 - 2006, 256с. Том 1. Данное пособие призвано возродить интерес к элементарным методам решения геометрических задач. В нем приведены яркие геометрические сведения, не вошедшие в современный школьный учебник. Например, формула Эйлера, окружность девяти точек, теорема Птолемея, геометрические неравенства и многое другое. Книга адресована всем, кто желает расширить и углубить знания по элементарной геометрии, - от школьников средних классов до учителей математики и студентов педагогических вузов. Том 2. Пособие предназначено для учащихся старших классов школ с математической специализацией. Оно содержит углубленное и расширенное изложение геометрии. В нем изложена теория прямых и плоскостей, трехгранных углов, тетраэдров, сфер и других тел. Рассмотрены методы доказательства геометрических неравенств и нахождения экстремумов. Много внимания уделено преобразованиям пространства - движениям, подобиям и аффинным преобразованиям. Книга включает около 500 задач для самостоятельного решения с указаниями и ответами. Книга может быть использована для внеклассной работы с учащимися, для самообразования учителей, для спецкурсов и спецсеминаров по элементарной геометрии в педагогических вузах. Том 1. Планиметрия, преобразования плоскости. Формат: pdf / zip Размер: 1,92 Мб Скачать / Download файл 
Том 2. Стереометрия, преобразования пространства. Формат: pdf / zip Размер: 1,56 Мб Скачать / Download файл
Оглавление Том 1. Предисловие .................................................................................. 8 Часть I. Планиметрия §1. Измерение углов, ассоциированных с окружностью .................. 13 1.1. Угол с вершиной внутри окружности (13). 1.2. Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности (13). 1.3. Угол между секущей и касательной (14). §2. Пропорциональные отрезки ....................................................... 16 2.1. Свойство ряда равных отношений (16). 2.2. Пропорциональные отрезки на сторонах угла (17). 2.3. Пропорциональные отрезки на параллельных прямых (18). 2.4. Свойство биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника (18). 2.5. Секущие к окружности (19). 2.6. Среднее геометрическое (19). 2.7. Золотое сечение отрезка (21). §3. Основные метрические соотношения в треугольнике ................... 25 3.1. Теорема синусов (25). 3.2. Формулы проекций и их следствия (26). 3.3. Некоторые формулы площади треугольника (28). 3.4. Зависимость между косинусами углов треугольника и радиусами его вписанной и описанной окружностей (29). 3.5. Длина биссектрисы треугольника (30). §4. Четыре замечательные точки треугольника .................................. 34 4.1. Центроид треугольника (34). 4.2. Центр вписанной в треугольник окружности (37). 4.3. Ортоцентр треугольника (38). 4.4. Связь между четырьмя замечательными точками треугольника (40). §5. Вневписанные окружности треугольника ................................... 45 5.1. Существование вневписанных окружностей (45). 5.2. Отрезки касательных из вершин треугольника к его вневписанным окружностям (46). 5.3. Зависимость между радиусами вписанной, вневпи-санных и описанной окружностей треугольника (47). §6. Окружность девяти точек треугольника ....................................... 49 6.1. Существование окружности девяти точек (49). 6.2. Теорема Фейербаха (50). §7. Вписанные и описанные четырехугольники ................................ 53 7.1. Критерии вписанного четырехугольника (53). 7.2. Критерии описанного четырехугольника (54). 7.3. Невыпуклый четырехугольник, ассоциированный с описанным четырехугольником (56). §8. Теорема Симсона и теорема Птолемея ........................................ 61 8.1. Теорема Симсона (61). 8.2. Теорема Птолемея (62). §9. Теорема Чевы ........................................................................... 68 9.1. Теорема Чевы (68). 9.2. Тригонометрическая (угловая) форма теоремы Чевы (69). 9.3. Изотомическое и изогональное соответствия (70). §10. Классические теоремы о коллинеарности трех точек .................. 75 10.1. Теорема Менелая (75). 10.2. Теорема Гаусса (76). 10.3. Теорема Дезарга (77). 10.4. Теорема Паскаля для треугольника (78). 10.5. Теорема Паскаля для вписанного шестиугольника (79). §11. Метрические соотношения в четырехугольнике ........................ 82 11.1. Центроид четырехугольника (82). 11.2. Длины средних линий и расстояние между серединами диагоналей четырехугольника (83). 11.3. Зависимость между длинами сторон и диагоналей четырехугольника (85). 11.4. Теорема косинусов для четырехугольника (86). 11.5. Соотношение Бретшнайдера (87). 11.6. Следствия из соотношения Бретшнайдера (88). §12. Площадь четырехугольника .................................................... 91 12.1. Формулы площади четырехугольника общего вида (91). 12.2. Следствия из общих формул площади четырехугольника (92).§13. Геометрические неравенства ................................................... 97 13.1. Использование неравенств между сторонами и углами треугольника (97). 13.2. Неравенства как следствия тождественных равенств (99). 13.3. Использование ограниченности функций синуса и косинуса (101). 13.4. Использование неравенств для скалярного произведения векторов (102). 13.5. Применение алгебраических неравенств для средних величин двух положительных чисел (103). 13.6. Получение неравенств из известных тождеств и неравенств (105). 13.7. Использование чертежа, дополнительных построений (106). §14. Геометрические экстремумы ................................................... 110 14.1. Экстремальные свойства суммы и произведения положительных чисел (111). 14.2. Экстремальные значения синуса и косинуса (112). 14.3. Об эквивалентности задач на экстремумы (113). 14.4. Применение геометрических преобразований (113). 14.5. Экстремальные значения квадратного трехчлена (114). §15. Экстремальные свойства правильных многоугольников ........... 118 15.1. Изопериметрическая задача (118). 15.2. Общие свойства изо-периметрических фигур максимальной площади (119). 15.3. Две подготовительные задачи (119). 15.4. Изопериметрическая теорема для многоугольников (121). 15.5. Экстремальное свойство правильного многоугольника из множества многоугольников, вписанных в данную окружность (123). 15.6. Экстремальное свойство правильного многоугольника из множества многоугольников, описанных около одной окружности (124). §16. Радикальная ось и радикальный центр окружностей .................. 126 16.1. Степень точки относительно окружности (126). 16.2. Радикальная ось двух окружностей (126). 16.3. Характеристические свойства точек радикальной оси окружностей (128). 16.4. Радикальный центр трех окружностей (129). §17. Пучки окружностей ................................................................... 130 17.1. Определение пучка окружностей. Виды пучков (130). 17.2. Критерии пучка окружностей. Задание пучка (132). 17.3. Ортогональные пучки окружностей (133). 17.4. Задание окружности данного пучка (134). §18. Полярное соответствие ............................................................ 136 18.1. Поляра точки относительно окружности (136). 18.2. Свойство взаимности поляр (138). 18.3. Автополярный треугольник. (138). 18.4. Полярное соответствие относительно окружности. Принцип двойственности (139). Задачи общего содержания ............................................................. 143 Часть II. Преобразования плоскости Введение. Отображения и преобразования множеств ........................ 157 Глава I. Движения плоскости §1. Общие свойства движений ......................................................... 160 1.1. Определения движения и равных фигур (160). 1.2. Инварианты движений (160). 1.3. Конструктивное задание движения плоскости (162). 1.4. Движения первого и второго рода (163). §2. Центральная симметрия ............................................................ 164 2.1. Определение и свойства центральной симметрии плоскости (164). 2.2. Решение задач (165). §3. Осевая симметрия ...................................................................... 169 3.1. Определение и свойства осевой симметрии плоскости (169). 3.2. Решение задач с помощью осевой симметрии (171). §4. Перенос ...................................................................................... 175 4.1. Определение и свойства переноса (175). 4.2. Решение задач с помощью переноса (176). §5. Поворот ...................................................................................... 179 5.1. Определение и свойства поворота (179). 5.2. Угол между лучом и его образом при повороте (180). 5.3. Два способа построения центра поворота (181). §6. Решение задач с помощью поворота ........................................ 181 §7. Композиции движений ................................................................ 187 7.1. Композиция центральных симметрии и переносов (187). 7.2. Композиция двух осевых симметрий с параллельными осями (188). 7.3. Представление переноса композицией осевых симметрий (189). 7.4. Композиция двух осевых симметрий с непараллельными осями (189). 7.5. Представление поворота композицией осевых симметрий (190). 7.6. Композиция двух поворотов (190). 7.7. Композиция поворота и переноса (191). 7.8. Переносная симметрия (191). 7.9. Композиция переноса и осевой симметрии (192).7.10. Движения плоскости как композиции осевых симметрий (192). §8. Решение задач с помощью композиций движений .................... 193 §9. Координатные формулы движений плоскости .............................. 197 9.1. Формулы переноса и центральной симметрии (197). 9.2. Формулы поворота (198). 9.3. Формулы осевой симметрии (198). 9.4. Формулы движений I и II рода (199). 9.5. Решение задач с использованием координатных формул движений (200). § 10. Комбинирование метода преобразований и векторного метода решения задач ....................................................................... 202 10.1. Движение вектора (202). 10.2. Решение задач с помощью поворота вектора (203). §11. Применение движений к построению графиков функций . . . . 206 11.1. Перенос графиков (206). 11.2. Применение осевой симметрии (207). Глава II. Подобия и аффинные преобразования §12. Гомотетия ................................................................................. 211 12.1. Определение гомотетии и его следствия (211). 12.2. Образ прямой при гомотетии (212). 12.3. Образы луча, полуплоскости и угла при гомотетии (213). 12.4. Задание гомотетии. Построение образа точки (213). §13. Гомотетичность окружностей ..................................................... 214 13.1. Гомотетичные фигуры (214). 13.2. Гомотетичность двух окружностей (215). §14. Решение задач с помощью гомотетии ....................................... 216 §15. Композиция гомотетий ............................................................. 223 15.1. Композиция двух гомотетий (223). 15.2. Теорема Паппа (224). 15.3. Взаимное расположение центров гомотетий трех окружностей (225). 15.4. Теорема Менелая (226). §16. Решение задач с помощью композиций гомотетий .................... 227 §17. Преобразование подобия ....................................................... 230 17.1. Определение подобия и подобных фигур (230). 17.2. Представление подобия композицией гомотетии и движения. Инварианты подобий (231). §18. Задание подобия плоскости ...................................................... 232 18.1. Теорема о задании подобия плоскости (232). 18.2. Два рода подобий. Построение образа точки при подобии (232). §19. Классификация подобий плоскости .......................................... 233 19.1. Классификация подобий первого рода (233). 19.2. Классификация подобий второго рода (235). §20. Угол, центр и двойные прямые подобия .................................. 237 20.1. Угол подобия (237). 20.2. Центр подобия (237). 20.3. Два подобия с общим центром (238). 20.4. Двойные прямые подобия (238). §21. Решение задач методом подобия .............................................. 239 §22. Параллельное проектирование плоскости на плоскость .............. 249 §23. Аффинные отображения .......................................................... 251 23.1. Определение и задание аффинного преобразования плоскости (251). 23.2. Частные виды аффинных преобразований плоскости (252). 23.3. Понятие об аффинной геометрии (253).§24. Решение задач с помощью аффинных преобразований ............. 254 Глава III. Инверсия §25. Инверсия плоскости относительно окружности ......................... 259 25.1. Определение инверсии. Построение образа точки при инверсии (259). 25.2. Координатные формулы инверсии (260). 25.3. Образы прямых и окружностей при инверсии (260). §26. Инвариантные окружности инверсии ......................................... 262 26.1. Ортогональные окружности (262). 26.2. Инверсия как симметрия относительно окружности (262). §27. Свойства углов и расстояний ..................................................... 264 27.1. Сохранение величин углов при инверсии (264). 27.2. Изменение расстояний при инверсии (264). §28. Инверсия и гомотетия ................................................................ 265 §29. Применение инверсии к решению задач на построение и доказательство ................................................................................ 266 Указания, ответы, решения ............................................................... 271 Литература ....................................................................................... 312 Предметный указатель ................................................................... 315 Оглавление Том 2. Предисловие ................................................................................. 11 Часть I. Стереометрия Глава 1. Прямые и плоскости §1. Параллельные прямые и плоскости ....................................... 15 1.1. Параллельность прямой и плоскости (15). 1.2. Параллельность двух плоскостей (16). §2. Перпендикулярные прямые и плоскости ................................... 17 2.1. Перпендикулярность прямой и плоскости (17). 2.2. Перпендикулярность двух плоскостей (18). §3. Скрещивающиеся прямые ....................................................... 19 3.1. Параллельные плоскости, заданные двумя скрещивающимися прямыми (19). 3.2. Описанный параллелепипед (19). 3.3. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых (20). 3.4. Построение и вычисление длины общего перпендикуляра векторным методом (22). 3.5. Пропорциональные отрезки на скрещивающихся прямых (22). §4. Углы между прямыми и плоскостями ...................................... 23 Угол между скрещивающимися прямыми (23). Угол между прямой и плоскостью (23). 4.3. Двугранный угол. Угол между двумя плоскостями (24). 4.4. О сущности стереометрической задачи на построение (25). Задачи к главе 1 ........................................................................... 27 Глава 2. Трехгранный угол §1. Смежные и вертикальные триэдры. Полярные триэдры . . . . 31 1.1. Трехгранный угол и его элементы (31). 1.2. Полярные триэдры (32). §2. Неравенства для углов триэдра ............................................... 32 2.1. Сумма плоских углов триэдра (32). 2.2. Аналог неравенства треугольника (33). 2.3. Сумма двугранных углов триэдра (33). 2.4. Сумма косинусов плоских углов триэдра (34). §3. Теоремы косинусов и теорема синусов для триэдра ............... 34 3.1. Две теоремы косинусов (34). 3.2. Теорема синусов для триэдра (35). 3.3. Следствия из теоремы синусов (36). 3.4. Необходимые и достаточные условия существования триэдра (36). 3.5. Применение теорем косинусов в решении задач (38). §4. Замечательные прямые и плоскости триэдра ........................... 39 4.1. Медианные плоскости триэдра (39). 4.2. Ось вписанного кругового конуса (39). 4.3. Ось описанного конуса (40). 4.4. Высотные плоскости и ортоось триэдра (41). §5. Плоскости, перпендикулярные осям описанного и вписанного конусов триэдра ...................................................................... 43 5.1. Плоскость перпендикулярная оси конуса, описанного около триэдра (43). 5.2. Плоскость, перпендикулярная оси вписанного в триэдр конуса (44). §6. Начальные сведения о сферической геометрии ........................ 45 6.1. Основные понятия (45). 6.2. Связь геометрии трехгранного угла со сферической геометрией (46). Задачи к главе 2 ........................................................................... 47 Глава 3. Ортогональное проектирование §1. Свойства ортогонального проектирования ............................. 50 1.1. Ортогональное проектирование как частный вид параллельного проектирования (50). 1.2. Площадь ортогональной проекции плоской фигуры (51). 1.3. Формула проекций граней тетраэдра (53). 1.4. Пример задачи (54). §2. Ортогональная проекция угла ............................................... 54 2.1. Общая формула ортогональной проекции угла (54). 2.2. Частные случаи (55). 2.3. Сравнение величины угла и величины его ортогональной проекции (57). 2.4. Примеры решения задач (58). §3. Ортогональная проекция вектора на плоскость ...................... 60 3.1. Вектор ортогональной проекции вектора (60). 3.2. Решение задач (61). Задачи к главе 3 ........................................................................... 62 Глава 4. Геометрические места точек пространства §1. Основные геометрические места точек пространства ............. 65 1.1. Сущность задачи на нахождение ГМТ (65). 1.2. Простейшие ГМТ пространства (66).§2. ГМТ пространства, задаваемые двумя скрещивающимися прямыми ............................................................................................ 68 2.1. Серединная плоскость скрещивающихся прямых (68). 2.2. Гиперболический параболоид (69). §3. Три ГМТ пространства, аналогичные ГМТ плоскости ............... 70 3.1. Окружность Аполлония и сфера Аполлония (70). ГМТ пространства, разность квадратов расстояний (72). ГМТ пространства, сумма квадратов расстояний (73).§4. Метод ГМТ в стереометрических задачах на построение . . . . 74Задачи к главе 4 75 Глава 5. Векторное и смешанное произведения векторов§1. Определения векторного и смешанного произведений, их геометрический смысл ....................................................................... 78 1.1. Ориентация упорядоченной тройки некомпланарных векторов (78). 1.2. Определение векторного произведения, его следствия (79). 1.3. Смешанное произведение трех векторов, геометрический смысл его знака и модуля (80). §2. Алгебраические свойства смешанного и векторного произведений 81 2.1. Алгебраические свойства смешанного произведения (81). 2.2. Алгебраические свойства векторного произведения (82).§3. Произведения в декартовых координатах ................................. 83 3.1. Координатная формула векторного произведения (83). 3.2. Координатное представление смешанного произведения (83).§4. Сложные произведения векторов ............................................. 84 4.1. Двойное векторное произведение (84). 4.2. Скалярное произведение двух векторных произведений (85). 4.3. Векторное произведение двух векторных произведений (85). 4.4. Квадрат смешанного произведения (85). §5. Некоторые геометрические приложения произведений векторов 86 5.1. Тригонометрия триэдра (86). 5.2. Теорема Менелая для триэдра (86). 5.3. Теорема Чевы для триэдра (87). 5.4. Выражение косинуса угла между противоположными ребрами тетраэдра через косинусы и синусы его двугранных углов (88). Задачи к главе 5 ........................................................................... 88 Глава 6. Тетраэдр §1. Медианы и бимедианы тетраэдра. Центроид ........................... 91 1.1. Бимедианы (средние линии) тетраэдра (91). 1.2. Медианы тетраэдра (92). 1.3. Свойства центроида тетраэдра (93). §2. Площади граней тетраэдра .................................................... 94 2.1. Теорема косинусов для тетраэдра (94). Сумма квадратов площадей граней тетраэдра (95). 2.3. Зависимость между косинусами двугранных углов тетраэдра (96). §3. Объем тетраэдра и объем клина ............................................ 97 3.1. Первая формула Штаудта (97). 3.2. Формулы Достора (97). 3.3. Формула Сервуа (98). 3.4. Теоремы синусов для тетраэдра (99). 3.5. Выражение объема тетраэдра через длины его ребер (формула Юнгиуса) (99). 3.6. Вторая формула Штаудта (100). 3.7. Объем клина (100). §4. Барицентрические координаты точки ...................................... 102 4.1. Определение (102). 4.2. Аффинный и метрический смысл барицентрических координат (103). 4.3. Расстояние между двумя точками, заданными относительно тетраэдра (103). §5. Сферы, касающиеся плоскостей граней тетраэдра ................... 105 5.1. Условия существования и число сфер, касающихся плоскостей граней тетраэдра (105). 5.2. Зависимость между радиусами вписанной и вневписанных сфер и высотами тетраэдра (107). §6. Ортоцентрический тетраэдр ..................................................... 108 6.1. Высоты тетраэдра. Определение и критерий ортоцентриче-ского тетраэдра (108). 6.2. Вектор ортоцентра (109). 6.3. Характеристические свойства ортоцентрического тетраэдра (110). §7. Равногранный тетраэдр ......................................................... 112 7.1. Определение и характеристическое свойство равногранно-го тетраэдра (112). 7.2. Свойства углов равногранного тетраэдра (112). 7.3. Критерии равногранного тетраэдра (113). 7.4. Формулы для равногранного тетраэдра (114). Задачи к главе 6 ........................................................................... 115 Глава 7. Вычисление объемов тел §1. Формула Ньютона–Симпсона и ее применение ........................ 119 1.1. Вывод формулы Ньютона–Симпсона (119). 1.2. Объем пирамиды и усеченной пирамиды (120). 1.3. Объем клина (121). §2. Объем шара и его частей ...................................................... 123 2.1. Объем шара и шарового сегмента (123). 2.2. Объем шарового сектора (124). 2.3. Объем шарового слоя и шарового кольца (125). §3. Принцип Кавальери ............................................................... 126 3.1. Сущность принципа Кавальери (126). 3.2. Объем шара и шарового сегмента (127). 3.3. Объем тора (128). §4. Объем тела вращения ........................................................... 129 4.1. Лемма о площади поверхности, образованной вращением отрезка (129). 4.2. Объем тела вращения треугольника (130). 4.3. Объем тела вращения центрально-симметричной фигуры (132). 4.4. Эквивалентная замена вращающейся фигуры (133). 4.5. Замена оси вращения (134). Задачи к главе 7 ........................................................................... 136 Глава 8. Сфера §1. Касательные плоскости и прямые. Малые окружности сферы . 139 1.1. Касательные плоскости к сфере (139). 1.2. Малые окружности сферы (140). 1.3. Касательные прямые к сфере (141). 1.4. Пересечение двух сфер (142). §2. Площадь сферы и ее частей .................................................... 143 2.1. Площадь сферы (143). 2.2. Площадь сферического сегмента (143). 2.3. Площадь сферического пояса (144). 2.4. Площадь сферы, сферического сегмента и сферического пояса как поверхностей вращения (144). 2.5. Площадь сферического двуугольника и сферического треугольника (145). §3. Радикальная плоскость, радикальная ось и радикальный центр сфер ...................................................................................... 146 3.1. Степень точки относительно сферы (146). 3.2. Радикальная плоскость двух сфер (147). 3.3. Радикальная ось трех сфер и радикальный центр четырех сфер (148). 3.4. Ортогональные сферы (148). §4. Инверсия пространства относительно сферы ............................ 149 4.1. Определение инверсии и его следствия (149). 4.2. Образы плоскостей и сфер, прямых и окружностей при инверсии (150). 4.3. Инвариантность величины угла между кривыми при инверсии (151). 4.4. Вывод второй формулы Штаудта для объема тетраэдра (152). 4.5. Стереометрическое обобщение тождества Брет-шнайдера (153). §5. Стереографическая проекция ................................................... 154 5.1. Определение и свойства стереографической проекции (154). 5.2. Координатные формулы стереографической проекции (155). Задачи к главе 8 156 Глава 9. Стереометрические неравенства и экстремумы §1. Классические алгебраические неравенства, используемые для доказательства геометрических неравенств ............................. 159 1.1. Неравенство Коши (159). 1.2. Сравнение квадрата суммы и суммы квадратов действительных чисел (160). 1.3. Тождество Лагранжа и неравенство Коши–Буняковского (160). §2. Получение неравенств из тождественных равенств ............... 161 §3. Некоторые избранные неравенства .......................................... 164 3.1. Неравенства для углов триэдра, тетраэдра и косого четырехугольника (164). 3.2. Неравенства для прямоугольного тетраэдра (165). 3.3. Неравенства для произвольного тетраэдра (167). §4. Стереометрические экстремумы ........................................... 168 4.1. Экстремумы как следствия нестрогих неравенств (168). 4.2. Экстремумы суммы и произведения положительных чисел (169). Сведение задачи к планиметрической (170). §5. Точка Люилье тетраэдра .......................................................... 172 5.1. Задача Люилье (172). 5.2. Барицентрические координаты точки Люилье (173). 5.3. Точка Люилье — центроид ее тетраэдра проекций (173). §6. Экстремальные свойства правильного тетраэдра ..................... 174 6.1. Тетраэдр минимальной площади поверхности с данным основанием и данной высотой (175). 6.2. Правильный тетраэдр — объект с экстремальными свойствами (176). Задачи к главе 9 ........................................................................... 177 Часть II. Преобразования пространства Глава 10. Движения пространства § 1. Перенос, центральная, осевая и зеркальная симметрии пространства ................................................................................ 183 1.1. Определения движения и равных фигур (183). 1.2. Перенос (183). 1.3. Центральная симметрия (183). 1.4. Осевая симметрия (183). 1.5. Зеркальная симметрия (184). 1.6. Представление переноса композициями зеркальных и осевых симметрий (184). §2. Общие свойства движений пространства ............................... 185 2.1. Два рода движений пространства (185). 2.2. Множества неподвижных точек движений пространства (185). 2.3. Инварианты движений пространства (186). 2.4. Признак зеркальной симметрии (188). §3. Поворот пространства около оси ............................................. 188 3.1. Поворот как частный вид движения (188). 3.2. Признак поворота (189). 3.3. Представление поворота композициями симмет-рий (189). §4. Переносная и поворотная симметрии, винтовое движение . . . 190 4.1. Переносная симметрия (190). 4.2. Поворотная симметрия (192). 4.3. Винтовое движение (192). §5. Конструктивное задание движения пространства .................... 193 5.1. Теорема о задании движения (193). 5.2. Следствия (195). §6. Классификация движений пространства ................................ 195 6.1. Движения второго рода (195). 6.2. Движения первого рода (196). §7. Координатные формулы движений пространства .................... 197 7.1. Вывод формул движений (197). Матрица движения (198). 7.3. Формулы обратного движения (200). 7.4. О критериях частных видов движений (200). 7.5. Формулы частных видов движений при специальном выборе прямоугольной декартовой системы координат (201). §8. Композиции движений пространства ..................................... 202 8.1. Композиция поворота и переноса (202). 8.2. Композиция зеркальной и осевой симметрий (202). 8.3. Композиция двух поворотов (203). 8.4. Композиция трех зеркальных симметрий (203). 8.5. Композиция симметрий относительно трех попарно скрещивающихся прямых (205). §9. Группы самосовмещений правильного тетраэдра и куба . . . . 205 9.1. Группа самосовмещений правильного тетраэдра (205). 9.2. Группа самосовмещений куба (207). §10. Решение задач с использованием движений пространства . . . 208Задачи к главе 10 ......................................................................... 211 Глава 11. Подобия пространства §1. Гомотетия пространства ........................................................... 219 1.1. Обзор теории (219). 1.2. Композиция гомотетии и переноса (220). 1.3. Гомотетия пространства в задачах (220). §2. Преобразования подобия ......................................................... 222 2.1. Определение и инварианты подобий пространства (222). Координатные формулы подобий пространства (222). 2.3. Центр подобия пространства (223). 2.4. Построение центра подобия первого рода плоскости (223). 2.5. Классификация подобий пространства (224). Задачи к главе 11 ......................................................................... 225 Глава 12. Аффинные преобразования §1. Начала теории аффинных преобразований пространства . . . . 228 1.1. Определение аффинного преобразования пространства и его следствия (228). 1.2. Задание аффинного преобразования пространства (228). 1.3. Координатные формулы аффинного преобразования (229). §2. Изменение объемов тел при аффинном преобразовании . . . . 231 2.1. Выражение смешанного произведения векторов в аффинных координатах (231). 2.2. Зависимость между объемом тела и объемом его образа при аффинном преобразовании пространства (231). §3. Родство ................................................................................... 233 3.1. Определение и свойства родства (233). 3.2. Представление аффинного преобразования пространства композицией подобия и родства (234). §4. Метод аффинных преобразований в геометрических задачах . 234 4.1. Сущность метода аффинных преобразований (234). 4.2. Примеры решения задач методом аффинных преобразований (235). Задачи к главе 12 ......................................................................... 236 Задачи общего содержания ....................................................... 238 Ответы, указания .......................................................................... 243 Литература .................................................................................... 254 Предметный указатель .................................................................. 255
----------------------------------------------
---------------------------------------------- | 