ЕГЭ и ГИА 2014

Задание С6

Для успешного решения задач типа С6 необходимо:

• Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
• Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
  уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать
  построенные модели с использованием аппарата алгебры
• Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать
  логическую правильность рассуждений, распознавать логически
  некорректные рассуждения
• Повторить материал по темам:
  • Элементы комбинаторики
  • Поочередный и одновременный выбор
  • Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона
  • Элементы статистики
  • Табличное и графическое представление данных
  • Числовые характеристики рядов данных
  • Элементы теории вероятностей
  • Вероятности событий
  • Примеры использования вероятностей и статистики при решении
    прикладных задач

Задачи для самостоятельного решения:

• 
• 

c6/c6.html" target="_blank" class="стиль13">Видео решение

• Перед каждым из чисел 4, 5, …, 8 и 14, 15, …, 20 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

• При каком наибольшем п найдется п семизначных чисел, являющихся последовательными членами одной геометрической прогрессии?

• Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).

• Решить уравнение 3^m+4ⁿ=5^k в натуральных числах.

• Все обыкновенные правильные несократимые дроби, числители и знаменатели которых двузначные числа, упорядочили по возрастанию. Между какими двумя последовательно расположенными дробями находится число 5/8?

• Доказать, что если f(0) и f(1) - нечетные числа, то у многочлена f(x) с целыми коэффициентами нет целых корней

• Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых (НОК) равно 78, а наибольший общий делитель (НОД) равен 13.

• Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.

• Каким может быть наибольший делитель натуральных чисел (НОД) m и n, если при увеличении числа m на 6 он увеличивается в 4 раза?

• Натуральные a,b,c,d удовлетворяют условию ab=cd. Может ли число a+b+c+d быть простым?

• Найдите двузначное число, которое на 19 больше суммы квадратов его десятичных цифр и на 44 больше удвоенного произведения его цифр.

• Решите в целых числах уравнение
  m⁴-2n²=1

• У натурального числа n ровно 6 делителей. Сумма этих делителей равна 3500. Найти n.

• На доске выписано более 56 и менее 72 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -5, средне арифмет. все положительных равно 8, а всех отрицательных - 16.
  а) сколько чисел на доске?
  б) каких чисел больше, положит. или отрицательных?
  в) какое наибольшее количество положительных может быть среди них?

• При каких целых y уравнение x²+x=y³-y имеет решение в целых числах?

• Найдите четырёхзначное число,у которого две первые цифры совпадают,две последние цифры совпадают,и оно является точным квадратом.

• Найти все натуральные m и n при которых выражение 5mn делится на m²+3n²+18

• Найти все трехзначные натуральные числа, каждое из которых больше суммы квадратов цифр ровно на 667.

• Найдите все числа p, для которых является простым каждое из шести чисел: p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+14.

• Найдите все простые числа p такие, что число p²+59 имеет ровно 6 различных делителей.

• Сумма x²+y² кратна 231. Найдите наименьшее из возможных значений суммы положительных целых чисел x и y

• Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности , начиная со второго либо в 11 раз больше ,либо в 11 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 2231
  
  а) может ли последовательность состоять из 2-х членов
  б) может ли последовательность состоять из 3-х членов
  в) какое наибольшее кол-во членов может быть в последовательности

• Ученик должен был перемножить два трёхзначных числа и разделить их на пятизначное. Однако не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трёхзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в семь раз больше истинного. Найдите все три числа.

• Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов:либо двумя автобусами типа А за несколько рейсов,либо тремя автобусами типа В за несколько рейсов,причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа В будет в один меньше,чем рейсов каждого автобуса типа А.В каком из случаев автобусы заполняются полностью.Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях,если в автобус типа В входит на 7 человек меньше,чем в автобус типа А?

• Найдите такое наименьшее положительное целое число x, что х! не делится на 1239 нацело и оканчивается на 12 одинаковых цифр.

• Натуральные числа a и b таковы, что b=2a где a - простое.
  Причем, если обратить (записать в обратном порядке) кажое из них, получатся числа, являющиеся степенью 2-ки, если зачеркнуть 1 цифру слева у каждого из этих (обращенных) чисел, то получатся числа, являющиеся степенью 2-ки. Найти все такие a и b.

• На координатной прямой расположены все числа. Игрок находится в позиции 1. Он может передвигаться вправо или влево на 1 или на 4. Игрок должен сделать 2010 ходов. Сможет ли он попасть в точку 2 , ниразу не попадаю в точку, координаты которой кратны 4.

• Решите уравнение в натуральных числах mn+28=11m

• Найдите все простые числа, которые одновременно являются суммами и разностями двух простых чисел.

• Число P равно произведению 11 натуральных различных чисел, больших 1. Какое наименьшее число различных делителей (включая единицу и само число) может иметь число P?

• решить в натуральных числах 2k!=m!-2n!

• Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается на 399нулей.На сколько нулей может оканчиваться число N ?

• перед каждым из чисел 3,4,5,..11 и 14,15,...,18 произвольным образом ставят знак плюс или минус,после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора,а затем все 45 полученных результатов складывают.Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

• 5ⁿ=2^m+1 в целых числах

• Первый набор чисел является геометрической прогрессией 2,4,8,...2¹⁰. Второй набор является геометрической прогрессией 3,9,27,...3¹⁰. Числа разбиты на пары. В каждой паре на первом месте число из первого набора, а на втором - какое-то число из второго. Внутри пар числа умножили и полученные произведения сложили. Найдите наибольшее возможное значение полученной суммы.

• Существует ли такое целое число,которое при зачеркивании первой цифры уменьшается в 73 раза?