��������� ����� 

01 ��� ���������� ����� ������� 3 �� � 5 ��, � ���������� ����� �� �������� ����� 1 ��. ������ �������� ������������ ���� �����������?  

 

 

 

 

 

Image 

Image 

Image 

Image 

Image 

02 � ����� ������������ ��������� ����� �����, ���������� ������� ������������� ����������� `+`(`*`(x, `*`(y)), `-`(x), `*`(2, `*`(y)), `-`(2)) = 0? 

 

 

 

 

 

�� ����, ����� ������ 

�� ����, ����� ������ 

�� ����, ����� ������� 

�� ����, ����� ��������� 

�� ���� ��������� 

03 ������� ��������� ���������� � ������� � ����� (5; 0) � ������� 3: 

 

 

 

 

 

`+`(`*`(`^`(`+`(x, 5), 2)), `*`(`^`(y, 2))) = 9 

`+`(`*`(`^`(`+`(x, `-`(5)), 2)), `*`(`^`(y, 2))) = 9 

`+`(`*`(`^`(`+`(x, 5), 2)), `*`(`^`(y, 2))) = 3 

`+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(`^`(`+`(y, `-`(5)), 2))) = 9 

`+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(`^`(`+`(y, 5), 2))) = 9 

04 ������� ��� �������� , ��� ������� ��������� `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(4, `*`(x)), `*`(`^`(y, 2)), `*`(2, `*`(a, `*`(y))), 5) = 0 ����� ���������� ����������. 

 

 

 

 

 

a > 1 

a < �1  

�1 < a < 1 


 

����� ���� 

2D-������� 

05 ���������� ���� ����� ��������� `#mover(mi(`#mover(mi( + `#mover(mi( � ��������, ���� ��������, ��� `#mover(mi((2; 2), `#mover(mi((2; 4) � `#mover(mi((-2; -6). 

 

 

 

 

 

115� 

120� 

45� 

60� 

135� 

06 ������� ���� ����� ��������� `#mover(mi(  � `#mover(mi(, ���� ���� ����� ��������� `#mover(mi(  � 4`#mover(mi(   ����� 60�. 

 

 

 

 

 

15� 

30� 

45� 

60� 

120� 

07 ��������� ��������� ������������ ��������, ������������ �� �������. 

 

 

 

 

 

12 

16 

18 

24 

9 

Image 

08 ����� �������� `#mover(mi( = (-2;4), `#mover(mi( = (2; 2), `#mover(mi( = (0;-1), `#mover(mi( = (1; -2)  ������� ������������. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

09 ������� ������ ������� , ���� , � ���� ����� ��������� `#mover(mi(`#mover(mi( ����� 60� . 

 

 

 

 

 

6 

5 

4 

2 

3 

3D-���������� 

10 �� ����� ������������ ��������� ����� (�2; 6; �5) �������� �������? 

 

 

 

 

 

y z 

x y 

x z 

���������� ������ 

����� ���� 

11 ���� ����� (�1;3;5). ������� ���������� ����� Q,  ����������� ����� ������������ ������������ ��������� yz. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 ��� ����� ��������  m �����  (m; 4; 2)  � Q(4;4;�2) ����������� ������������ ����� R(�2; 4; 0)? 

 

 

 

 

 

m = 0 

m = �8 

m = 12 

������ �������� m 

m = sqrt(12) 

13 ��� ����� ���������  m ����� (1; 3; 2)  �  (1;5; 8) ���������� ������������ ����� (1; m;3)? 

 

 

 

 

 

����� �������� m ��� 

0 

1 

4 

����� ���� 

14 � ������������ ������ ����� ����� (2; 3;-5) � M(1;-1, 2). ������� ���������� ����� , ������������ ����� ������������ ����� . 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15 ����� ���������� ����� (1; 0; -1) ������������ ����� (0; 1; 0). ������� ���������� ����� . 

 

 

 

 

 

A(1; 1; 1) 

(-1; 2; 1) 

A(-1; 0; 1) 

(-1; 1; 1) 

(0; 0; 0) 

16 ������� ���������� �����, ������������ ������������ ��� ������� �������� ������� � ������� � ������ (7; -3; 4) � (-1; 1; -2). 

 

 

 

 

 

(-3; 1; -1) 

(-3; -1; -1) 

(3; 1; -1) 

(-3; -1; 1) 

(3; 1; 1) 

17 ������� �����, ��������� �� ������ ��������� �� 3 �������. 

 

 

 

 

 

(2; 2; 2) 

(1; 1: 1) 

(0; 0; 2) 

(2; 2; 1) 

(0; 0; -2) 

18 ������������� ��������� ������� � ������� � ������ (-1; 0; 5) � B (-1; 0; 8) �� ������������ ��������� �� ��������:  

 

 

 

 

 

������ 

��� 

������� 

����� 

����� ���� 

19 ���� ��������� ������� �� ������������ ��������� ��z �������� �����, �� �����, ���... 

 

 

 

 

 

�������� ��� ������ �������������� 

��� ���������� ��� ������ �������������� ����� 

��������� ��� ������ �������������� 

�������� ��� ������ ����� 

�������� ��� ������ �������������� 

20 ������� ��� �������� ��������� m, ��� ������� ����� (4; 4; m) � �(�1; �3; �4) ����������� �� ���������� ���������� �� ��� . 

 

 

 

 

 

1 

�1 

1 � �1 

����� �������� �� ���������� 

����� ���� 

3D-������� 

21 ��� ����� ��������� n ������� �  ���������������? � ������ �������� ������������ ���� ���������� �������� n. 

 

 

 

 

 

1 

�3 

�1 

3 

sqrt(3) 

22 ������� `#mover(mi( (-1; ; 2)  � `#mover(mi( (3; -12; -6) ����� �� ��������������� �������� �����. ������� . 

 

 

 

 

 

-4 

4 

-3 

3 

6 

23 ���� �������  . ���������� �������  ������ 

 

 

 

 

 

(4; 6; �2) 

(4; 5; �6) 

(2; 2; �5) 

(2; 1; �9) 

����� ���� 

���� 

24 ����� ������ ���������� `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(`^`(`+`(y, `-`(1)), 2)), `*`(`^`(`+`(z, 1), 2))) = 9 . ������� ����� ����, ������������� ���� ������. 

 

 

 

 

 

`+`(`*`(108, `*`(Pi))) 

`+`(`*`(`/`(4, 3), `*`(Pi))) 

`+`(`*`(36, `*`(Pi))) 

`+`(`*`(972, `*`(Pi))) 

����� ���� 

25 ������� ��������������� ABCD ����� ����������  (0;2;0), (1;0;0), (2;0;2), D(1; 2; 2). ����� ��� ����� ��������������? 

 

 

 

 

 

�������������� ������ ���� 

�������� 

������������� 

������� 

���� 

 

2D-���������� 

26 ������� �������� ��������� , ��� ������� ���������� `+`(`*`(`^`(`+`(x, `-`(9)), 2)), `*`(`^`(`+`(y, `-`(4)), 2))) = a  �������� ��� �������. 

27 ���� ���������� � ����� ������ �����, ������������� ���� �����������. ������������ ���� ������� ����, ����������� � ����� ����� ������ �����, ����� 

1 

2 

3 

4 

5 

���� 

������� 

���� 

���������� 

������, �������� �� ��������� 

2D-������� 

28 ���������� ���� ����� ��������� `#mover(mi(`#mover(mi( � ��������, ���� ��������, ��� `#mover(mi((-4;-3)  , `#mover(mi((-1;-7) , ������ 0 <α < 180 . 

29 ������� ��������������� ������������ ABC ����� 5 ��. ������� ��������� ������������ . 

3D-������� 

30 ��� ����������� ������ �B CD, ���� (2; 1; 2), (1; 0; 2), (1; �2; 2), D(0; �1; �1)? 

1 

2 

3 

4 

5 

������������ 

����������� 

��������� 

������������ 

����� ���� 

31 ���� ����� ��������� ... 

1 

2 

3 

4 

5 

����� 

������ 

������ 

����� 0� 

����������� 

32 ��������, ��� (1; 2; 3), ����� ����� �� ��� �������, � ����� - �� ��� ������� (��. �������). ������� ��������� ������������ �������� `#mover(mi(  �  `#mover(mi(. 

Image 

33 ���� ���������� ������ ������������ ���: (1; 2; 1), (3; -1; 2), (0; 0; 4). ������� ������� ���� ������������. 

 

 

34  ���������� ������������� ���DEF �� �������� 2 ��. �������:
�)  ������� ��������������;
�)  ��������� ��������� λ, ��� ������� �������  � `#mover(mi(  ���������������;
�)  ����� ������� , ��� ����� , , N, � �������� ������ ��, �D, D� F� ��������������.
 

35 ������� ���� ����� ���������    � ������������, ���� ��������, ��� ��� ���� ������� ����� �

 

 

 

 

 

`+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(arccos))) 

arccos(-`/`(5, 6)) 

`+`(`*`(`/`(5, 6), `*`(arccos))) 

arccos(-`/`(1, 3)) 

����� ���� 

36 ������� ��`*`(A[1], `*`(B[1])) ����� �� �������������� ������, O[1] � �� ��������. �������� ����� ������� OO[1] � ��������  x = `*`(`+`(AA[1], `-`(BB[1])), `/`(1, 2)).. 

1 

2 

3 

4 

5 

OO[1] = x 

`<`(OO[1], x) 

`>`(OO[1], x) 

�������� ������ 

����� ����