Прямая и плоскость 

01 Сколько разных плоскостей определяют параллельные прямые а, b, с? 

 

А	Б	В	Г	Д
Ровно одну	Одну или две	Одну или три	Две или три	Ровно три

02 Даны плоскость α и точка А, не принадлежащая плоскости α .Геометрическое

место середин отрезков, соединяющих точку А с точками плоскости α,— это: 

 

А	Б	В	Г	Д
точка	отрезок	прямая	плоскость	многоугольник

03 Укажите линейный угол двугранного угла с ребром АВ, если (см. рисунок). 

 

 

А	Б	В	Г	Д

Многогранники 

04 Двугранный угол равен 45°. Задана точка на одной из граней угла. Расстояние от этой точки до другой грани угла 12 см. Найдите расстояние от заданной точки до ребра двугранного угла. 

 

А	Б	В	Г	Д

05 В правильном многограннике 12 ребер и 8 вершин. Сколько у него граней? 

 

А	Б	В	Г	Д

Куб 

06 Площади диагонального сечения куба равна  . Найдите площадь полной поверхности куба. 

 

А	Б	В	Г	Д

07 Вычислите диагональ куба, если диагональ его нижнего основания равна 4 см. 

 

А	Б	В	Г	Д
				Ответ иной

08 Определите расстояние от вершины А куба   до плоскости , если ребро куба равно  см. 

 

А	Б	В	Г	Д
7 см	4 см	6 см	12 см	см

09 На рисунке изображен куб . Найдите угол между плоскостями и . 

 

 

А	Б	В	Г	Д
45°	30°	90°	120°	60°

Параллелепиед 

10 На рисунке изображена развертка поверхности тела, сложенная из шести попарно равных прямоугольников, размеры которых указаны. Вычислите объём этого тела. 

 

 

А	Б	В	Г	Д
50	60	40	400	35

Призма 

11 Периметр основания правильной треугольной призмы равен 24 см. Площадь боковой грани этой призмы равна 48 . Вычислите диагональ боковой грани. 

 

А	Б	В	Г	Д

Пирамида 

12 В четырёхугольной пирамиде все рёбра одинаковые и равны . Найдите объём пирамиды. 

 

А	Б	В	Г	Д

13* В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция с боковой стороной см и острым углом 60° . Все её боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30° . Найдите объём пирамиды. 

 

А	Б	В	Г	Д

14 Найдите апофему правильной четырёхугольной пирамиды, если плоскости основания и боковой поверхности этой пирамиды равны соответственно 36 и 60 . 

 

А	Б	В	Г	Д
15 см	10 см	5 см	2,5 см	Ответ иной

15 В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро, длина которого равна а, образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. 

 

А	Б	В	Г	Д
				Ответ иной

Шар и сфера 

16 Найдите объём тела, образованного вращением круга вокруг своего диаметра, дли которого равна а см. 

 

А	Б	В	Г	Д

17 Объёмы двух сфер относятся как 64 : 125. Как относятся площади их поверхностей? 

 

А	Б	В	Г	Д
4 : 5	16 : 25	5 : 16	5 : 8	256 : 625

Комбинация тел 

18 В стакан цилиндрической формы, наполненный водой по самые края, положили металлический шарик, касающийся дна стакана и стенок (см. рисунок). Определите отношение объёма воды, которая останется в стакане, к объёму воды, вылившейся из стакана. 

 

 

А	Б	В	Г	Д

19 Цилиндр вписан в куб. Известно, что объём куба равен 216 куб.см. Найдите объём цилиндра. 

 

А	Б	В	Г	Д

Цилиндр 

20 Сечение цилиндра, проведенное параллельно его оси, находится на расстоянии 2 см от неё и является квадратом. Площадь боковой поверхности цилиндра составляет  . Найдите площадь сечения (в ). 

 

А	Б	В	Г	Д

21 Найдите объём тела, образованного вращением куба вокруг своего ребра, длина которого равна а. 

 

А	Б	В	Г	Д

Конус 

22 Объём конуса равен , а радиус основания r = 5  см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 

 

А	Б	В	Г	Д

23 Квадрат со стороной вращается вокруг диагонали. Найдите площадь поверхности тела вращения. 

 

А	Б	В	Г	Д

24 Образующая конуса равна b и наклонена к плоскости основания под углом α. Найдите расстояние от центра основания конуса до образующей. 

 

А	Б	В	Г	Д

25 В конусе образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите объём конуса, если радиус его основания равен см. 

 

А	Б	В	Г	Д

 

 

Многогранник 

26 Основание прямой треугольной призмы – правильный треугольник АВС, сторона которого равна . На ребре отмечена точка P так, что . Найдите тангенс угла между плоскостями AВС и ACP, если расстояние между прямыми BC и равно 16. 

27 Дана призма ,  в основании которой лежит квадрат, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 60°. Отрезок перпендикулярен плоскости основания. Найдите длину этого отрезка, если площадь боковой поверхности призмы равна   .  

Параллелепипед 

28 Прямоугольный параллелепипед с длиною ребер 5 см, 7 см и 9 см сложен из кубиков с длиной ребра 1 см. Сколько следует забрать кубиков, чтобы удалить весь внешний слой толщиною в один кубик? 

29 В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 5, 6 та 8 см, а все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Вычислите объём пирамиды, в . 

Пирамида 

30 Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, в . 

31 В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом a и прилежащим к нему углом β. Боковые грани пирамиды, содержащие катеты этого треугольника, перпендикулярны к плоскости основания, а третья боковая грань наклонена к основанию под углом . Найдите высоту пирамиды. В ответе положите  

Конус 

32 Высота конуса равна 4 см, радиус основания – 3 см. Найдите отношение площади основания конуса к площади его боковой поверхности. Ответ запишите десятичной дробью. 

 

Комбинация тел 

33 Металлический шар радиуса перелит в конус, высота которого 8. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания. 

3-Пирамида 

34 Из середины высоты правильной треугольной пирамиды опущены перпендикуляры на боковое ребро пирамиды и на боковую грань. Длины этих перпендикуляров соответственно равны  и 1.
1). Докажите, что основание перпендикуляра, проведенного из середины высоты пирамиды на боковую грань, лежит на апофеме.
2). Найдите объём пирамиды.  

35 В правильной треугольной пирамиде SАВС угол между боковым ребром и плоскостью основания равен β, сторона основания равна а, SН - высота пирамиды.
1.  Постройте на приведенном рисунке сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку Н параллельно ребрам SА и ВС.
2.  Выясните, какой фигурой является сечение пирамиды (ответ обоснуйте).
3.  Найдите площадь сечения пирамиды. 

 

36 В правильной треугольной пирамиде SАВС через её высоту SO и боковое ребро SВ проведена плоскость. Площадь образовавшегося сечения в 4 раза меньше площади полной поверхности пирамиды. Найдите двугранный угол при основании пирамиды.