.�����1 { font-size: 18px; font-weight: bold;}.�����2 {font-size: 18px}

Прямая и плоскость 

01 Прямая а параллельна плоскостям β и γ. Каково взаимное расположение
���� ����������?�

А 

Б 

В 

Г 

Д 

Плскости обязательно пересекаются 

Плоскости обязательно параллельны 

Плоскости обязательно совпадают 

Плоскости обязательно параллельны или совпадают  

Ответ иной 

02 Даны плоскость α  и точка Р. Сколько существует различных плоскостей,
���������� ����� ����� , ���������������� � ��������� a ?�

А 

Б 

В 

Г 

Д 

0 или ∞ 

1 или ∞ 

∞ 

03 Из точки А к плоскости α проведены две наклонные — АК и АN, образующие
� ���������� a ���� 45� � 60� ��������������. ������� ����� ���N, ����
���������� �� ����� � �� ��������� a ����� sqrt(3) �.�

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(sqrt(3), `*`(`/`(`+`(`*`(2, `*`(sqrt(2))))), `*`(8))))) 

`*`(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(sqrt(6), `*`(8)))), `/`(3, 2)) 

 

 

 

04 Определите на рисунке линейный угол двугранного угла с ребром ВС,
���� � ������������ ��� ����� = 90� � �� ��������������� ��-�� (���).�

Image 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`?`(PCA) 

`?`(PKA) 

`?`(PBA) 

`?`(APK) 

���� �����

Многогранники 

05 У правильной четырёхугольной призмы боковое ребро равно 3 см, а
��������� ������ ����������� S = 32 `*`(`^`(A<, 2)). ������� ������� ��������� ������.�

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`+`(`*`(2, `*`(A<))) 

`+`(`*`(`/`(2, 3), `*`(A<))) 

`+`(`*`(2, `*`(sqrt(7), `*`(A<)))) 

`+`(`*`(3, `*`(A<))) 

`+`(`*`(`/`(3, 2), `*`(A<))) 

Куб 

06 Площадь поверхности куба 96 кв.м. Найдите объём куба. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`+`(`*`(64, `*`(`^`(<, 3)))) 

`+`(`*`(48, `*`(`^`(<, 3)))) 

`+`(`*`(36, `*`(`^`(<, 3)))) 

`+`(`*`(24, `*`(`^`(<, 3)))) 

���� �����

07 Диагональ куба равна 6 см. Найдите площадь полной поверхности куба. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`+`(`*`(72, `*`(`^`(A<, 2)))) 

`+`(`*`(66, `*`(`^`(A<, 2)))) 

60 

54 

48 

08 В кубе `*`(ABCD, `*`(A[1], `*`(B[1], `*`(C[1], `*`(D[1]))))), ребро которого равно 10, через точку М
(M? AA[1]AM = MA[1]) � ����� `*`(C[1], `*`(D[1]))��������� �������. ����� ������� �������.�

Image 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`+`(`*`(25, `*`(sqrt(3)))) 

50 

`+`(`*`(50, `*`(sqrt(5)))) 

75 

100 

09 У куб вписана сфера радиуса 5. Найдите площадь поверхности куба. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

150 

300 

450 

600 

1000 

Параллелепи�ед 

10 На рисунке изображена развертка поверхности тела, составленная
�� ���� ��������� � ������ ���������� ���������������, �����
������ ������� - 3 �� � 6 ��. ������� ����� ����� ����.�

Image 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

54 `*`(`^`(A<, 3)) 

36 `*`(`^`(A<, 3)) 

108 `*`(`^`(A<, 3)) 

216 `*`(`^`(A<, 3)) 

54 π `*`(`^`(A<, 3)) 

Призма 

11 Вычислите длину меньшей диагонали прямой призмы, в основании
������� - ���� �� �������� �6 � � ������ ����� 60�. ������ ������ 8 �.�

А 

Б 

В 

Г 

Д 

9 м 

9.5 м 

10 м  

10.5 м 

`+`(`*`(2, `*`(sqrt(43)))) м  

Пирамида 

12 Все рёбра тетраэдра увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличится
����� ���������?�

А 

Б 

В 

Г 

Д 

в 2 раза 

в 4 раза 

в 8 раз 

в 12 раз 

в 16 раз 

13 Дана четырёхугольная пирамида КАВСD, у которой КВАВС (см. рисунок).

���������� ���� ������� ����� KD � ��������� ���������.�

Image 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`?`(KDA) 

`?`(KDC) 

`?`(KDB) 

`?`(KBD) 

`?`(BKD) 

14 Площадь основания и площадь боковой поверхности правильной
�������������� �������� ����� �������������� 36 `*`(`^`(A<, 2)) � 60 `*`(`^`(A<, 2)).
������� ������� ���� ��������.�

А 

Б 

В 

Г 

Д 

10 см 

5 см 

2,5 см 

1,25 см 

1 см 

15 Прямоугольный параллелепипед имеет ребра длиною 1 см, 2 см и 3 см.
������� ����� ������� ����������������.�

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`+`(`*`(9, `*`(`^`(A<, 3)))) 

`+`(`*`(6, `*`(`^`(A<, 3)))) 

`+`(`*`(18, `*`(`^`(A<, 3)))) 

`+`(`*`(5, `*`(`^`(A<, 3)))) 

Ответ иной 

Шар и сфера 

16 Диаметр одного арбуза вдвое больше диаметра другого.
�� ������� ��� ������ ����� ������� �������?�

А 

Б 

В 

Г 

Д 

16 

17 Площадь сферы равна 8π. Найдите её радиус. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`+`(`*`(2, `*`(sqrt(2)))) 

`*`(`^`(6, `/`(1, 3))) 

sqrt(6) 

2 

sqrt(2) 

Комбинация тел 

18 Цилиндр вписан в куб. Известно, что объём куба равен `+`(`*`(40, `*`(`^`(A<, 3)))) .
��������� ����� ��������.�

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`+`(`*`(30, `*`(`^`(A<, 3)))) 

`+`(`*`(10, `*`(Pi, `*`(`^`(A<, 3))))) 

`*`(`^`(Pi, 3), `*`(`^`(A<, 3))) 

`+`(`*`(12, `*`(Pi, `*`(`^`(A<, 3))))) 

`+`(`*`(9, `*`(Pi, `*`(`^`(A<, 3))))) 

19 Два цилиндра, радиусы которых относятся как 2 : 3, имеют равные объёмы.
������� ��������� �������� ������� ������������ ������ ���������.�

 

 

 

 

 

2 

`/`(1, 4) 

`/`(1, 2) 

1 

1.5 

Цилиндр 

20 Найдите объём тела, образованного вращением куба вокруг ребра,
����� �������� ����� .�

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`+`(`*`(4, `*`(`^`(a, 3)))) 

`*`(Pi, `*`(`^`(a, 3))) 

`+`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(`^`(a, 2))))) 

`+`(`*`(2, `*`(Pi, `*`(`^`(a, 3))))) 

`+`(`*`(4, `*`(Pi, `*`(`^`(a, 3))))) 

21 Как изменится объём цилиндра, если его высоту увеличить в 3 раза,
� ������ ��������� ��������� � 3 ����? �

 

 

 

 

 

Уменьшится в 9 раз 

Увеличится в 9 раз 

Уменьшится в 3 раза 

Увеличится в 3 раза 

Не изменится 

Конус 

22 Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши 3 м,
� ������� ����� 8 �. ������� ������� �����.�

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`+`(`*`(12, `*`(Pi, `*`(`^`(<, 2))))) 

`+`(`*`(15, `*`(Pi, `*`(`^`(<, 2))))) 

`+`(`*`(20, `*`(Pi, `*`(`^`(<, 2))))) 

`+`(`*`(30, `*`(Pi, `*`(`^`(<, 2))))) 

`+`(`*`(40, `*`(Pi, `*`(`^`(<, 2))))) 

23A  Радиус основания конуса равен 3 см, а объём конуса конуса — `+`(`*`(9, `*`(Pi, `*`(`^`(A<, 3))))).
������� ����������� ������.�

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`+`(`*`(3, `*`(sqrt(2), `*`(A<)))) 

`*`(sqrt(8), `*`(A<)) 

`+`(`*`(3, `*`(A<))) 

`*`(sqrt(10), `*`(A<)) 

`+`(`*`(10, `*`(A<))) 

24 Найдите объём тела, полученного при вращении правильного
������������ �� �������� ������ ����� �� ��� ������.�

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`*`(Pi, `*`(`^`(a, 3))) 

`+`(`*`(`/`(1, 8), `*`(Pi, `*`(`^`(a, 3))))) 

`*`(`+`(`*`(3, `*`(Pi, `*`(`^`(a, 3))))), `/`(1, 8)) 

`+`(`*`(`/`(1, 4), `*`(Pi, `*`(`^`(a, 3))))) 

`+`(`*`(`/`(1, 12), `*`(Pi, `*`(`^`(a, 3))))) 

25 Осевым сечением конуса является правильный треугольник,
�������� �������� ����� 36 ��. ��������� ������� ��������� ������.�

А 

Б 

В 

Г 

Д 

36 π `*`(`^`(A<, 2)) 

108 π `*`(`^`(A<, 2)) 

144 π `*`(`^`(A<, 2)) 

81 π `*`(`^`(A<, 2)) 

72 π `*`(`^`(A<, 2)) 

 

 

������������

26 ��������� ����� ������������� (� `*`(`^`(A<, 3))), ��� ������� �������� �����
� ������� ������ �������������� ��������������� �� ��������� 3 ��, 4 ��, 5 ��.�
27 � ��������� �������� ����� ����������� �� ��������� 13, 12 � 5.
��� ������� ����� ��������� � ��������� ��������� ��� ����� 45�.
������� ����� ��������.�
28 � ������������� ��������������� `*`(ABCDA[1], `*`(B[1], `*`(C[1], `*`(D[1])))) ���� = 6 �, �� = 8 �, `*`(B, `*`(B[1])) = `+`(`*`(1.6, `*`(sqrt(91)))) ��.
������� ������� ������� ��������������� ����������, ������������ ������ ��
���������� ������ `*`(B, `*`(A[1])) .�

��������

29 ��� ������������ ������� ������ ���������� ��������� �� ������� ��� ������ �� 50 `*`(`^`(`�`, 3)).
����� ���������� ������ ���������� ���������� ��������, ���� ����� ������ �����
����� ������� ��������������� ������� 15 ? 18 ? 25 ?�
30 ������� ���������� �������������� �������� ����� `+`(`*`(2, `*`(sqrt(3)))) �� � ���������
��� ����� 60� � ��������� ���������. ������� ����� ��������.�

���

31 ��������� ����� ����� 6 � 8. ������, ������� ������ �`+`(`*`(4, `*`(sqrt(`/`(2, 5))))), �������� ����
��� ������. ������� ���������� �� ������ ����� �� ��������� �����.�

�����

32 ����� ������� ������ � �������� ��������� 4 �� ��������� ���������,
������������ ��� ��������� �� �����, ������� ����� �� ������ ���������
������ ��� ����� 120�, � �� ������� ������ - ��� ����� 90�.
��������� ������� �������, � `*`(`^`(A<, 2)).�
33 �� ������� ���������� ��������� ������. ���������� ��������� �������
������ ����������� ����� ������ � ������� ��� ������� �����������.�

Image

 

 

�������������

34 � ���� ABCDA1B1C1D1 � ������, ������ `+`(`*`(2, `*`(sqrt(3)))), ���������� �����.
������� ������ ��������� � ����� D 1, � ����� ��� ���������, ����� O,
����� �� ��������� BD1 ���, ��� BO:OD1=1:3. ���������� ���������
������ ����� � ������ ������, ���������� ����� B, ����� �� ����� ����� �����.
���������� ����� ������.�

3-��������

35 � ��������� �������� ����� �������������� ����������� �� �������� a .
����� �� ������� ������ ��������������� � ��������� ��������� � �����
�������� �������������� �������������. ����� �������� ������� �����.
�������:
�) ����� ������ ��������, ��������� ��������� ������ ��������;
�) ������ ��������� ������ �������� �����.�
36 � ���������� ����������� �������� S��� � ���������� ��� ������� �����
����� ������ ������� ���������. ����� L �������� ���������� ����� �� ��
��������������. ����� ������ �L ����������� ������ S�, ��������� ��������� a .
������� ���� ����� ���������� a � ���������� (���).�