01 Вычислите значение производной функции  у = sin x – 2х    в точке x[0] = 0. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

1 

0 

-3 

-1 

Ответ иной 

02 Найдите производную функции y = `*`(`+`(x, `-`(3)), `*`(cos, `*`(x))) .  

А 

Б 

В 

Г 

Д 

diff(y(x), x) = `+`(`*`(cos, `*`(x)), `*`(`+`(x, `-`(3)), `*`(sin, `*`(x))))
diff(y(x), x) = `+`(`*`(cos, `*`(x)), `*`(`+`(x, `-`(3)), `*`(sin, `*`(x)))) 

diff(y(x), x) = `+`(`*`(`+`(x, `-`(3)), `*`(sin, `*`(x))), `-`(`*`(cos, `*`(x))))
diff(y(x), x) = `+`(`*`(`+`(x, `-`(3)), `*`(sin, `*`(x))), `-`(`*`(cos, `*`(x)))) 

diff(y(x), x) = `+`(`*`(cos, `*`(x)), `-`(`*`(`+`(x, `-`(3)), `*`(sin, `*`(x)))))
diff(y(x), x) = `+`(`*`(cos, `*`(x)), `-`(`*`(`+`(x, `-`(3)), `*`(sin, `*`(x))))) 

diff(y(x), x) = `+`(`-`(`*`(sin, `*`(x)))) 

Ответ иной 

03 Найдите производную функции  y = `+`(`*`(cos, `*`(x)), `*`(`^`(x, 4))) 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

diff(y(x), x) = `+`(`-`(`*`(sin, `*`(x))), `*`(4, `*`(`^`(x, 3)))) 

diff(y(x), x) = `+`(`*`(sin, `*`(x)), `*`(4, `*`(`^`(x, 3)))) 

diff(y(x), x) = `+`(`*`(sin, `*`(x)), `*`(`^`(x, 3))) 

diff(y(x), x) = `+`(`-`(`*`(sin, `*`(x))), `*`(`^`(x, 3))) 

Ответ иной 

04 Найдите значение производной функции y = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(sin, `*`(x)))   в точке x[0] = Pi. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`+`(`*`(`^`(Pi, 2)), `-`(1)) 

`+`(`*`(2, `*`(Pi)), 1) 

`+`(`*`(2, `*`(Pi))) 

`+`(`*`(2, `*`(Pi)), `-`(1)) 

Ответ иной 

05 Вычислите производную функции f(x) = `+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(x)), `-`(`/`(`*`(3), `*`(x)))) в точке x[0] = 3 . 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

-`/`(2, 3) 

`/`(2, 3) 

0 

`/`(1, 3) 

Ответ иной 

Геометрический смысл производной 

06 К графику функции  y = `+`(`-`(`*`(.5, `*`(`^`(x, 2))))) проведена касательная в точке с абсциссой x[0] = -3. Вычислите тангенс угла наклона этой касательной к положительному направлению оси абсцисс. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

-4.5 

-3 

0 

3 

4.5 

07 Найдите ординату точки на параболе y = `+`(`*`(2, `*`(`^`(x, 2))), `*`(12, `*`(x)), `-`(5)), в которой угловой коэффициент касательной к параболе равен 8. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

-15 

-5 

-1 

16 

15 

08 Найдите уравнение касательной к графику функции y = `*`(`^`(x, 2)) в точке А(-1;1). 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

y = `+`(`-`(`*`(2, `*`(x))), 3) 

y = `+`(`-`(`*`(2, `*`(x))), `-`(1)) 

y = `+`(`-`(`*`(2, `*`(x))), 1) 

y = `+`(`*`(2, `*`(x)), `-`(1)) 

y = `+`(`*`(2, `*`(x)), 3) 

09 На рисунке изображен график функции у = f (х) и касательная к нему в точке с абсциссой x[0]. Найдите значение . 

Image 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

-2 

-1 

0 

1 

2 

10 Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = `/`(`*`(`+`(x, `-`(1))), `*`(`+`(`*`(`^`(x, 2)), 1))) в точке пересечения этого графика с осью абсцисс. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

1 

-.5 

.5 

.25 

-1 

Физический смысл производной 

11 Тело движется прямолинейно по закону s(t) = `+`(`*`(`/`(2, 3), `*`(`^`(t, 3))), `-`(`*`(2, `*`(`^`(t, 2)))), `*`(4, `*`(t))) (время t измеряется в секундах, путь s - в метрах). Найдите ускорение его движения в момент t = 10 с. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

`+`(`/`(`*`(12, `*`(<)), `*`(`^`(c, 2)))) 

`+`(`/`(`*`(3, `*`(<)), `*`(`^`(c, 2)))) 

`+`(`/`(`*`(36, `*`(<)), `*`(`^`(c, 2)))) 

`+`(`/`(`*`(6, `*`(<)), `*`(`^`(c, 2)))) 

`+`(`/`(`*`(48, `*`(<)), `*`(`^`(c, 2)))) 

12 При движении тела по прямой расстояние S ( в метрах) от начальной точки движения изменяется по закону  S(t) = `+`(`*`(`/`(1, 3), `*`(`^`(t, 3))), `-`(`*`(`^`(t, 2))), t, `-`(1))  (t – время движения в секундах). Найдите скорость (м/с) тела через 4 секунды после начала движения. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

1.75 

7.5 

3 

9 

Ответ иной 

Монотонность 

13 Укажите промежутки убывания функции y = `+`(`*`(`/`(2, 3), `*`(`^`(x, 3))), `*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(x, 2)))) 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

 

 

 

 

 

Критические и экстремальные точки 

14 Найдите критические точки функции y = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(`/`(`*`(2), `*`(x)))). 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

-1 

0 

2 

-1;0 

0;2 

15 Укажите точку минимума функции  f(x) = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `-`(`*`(`/`(1, 2), `*`(`^`(x, 4))))). 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

-1 

sqrt(2) 

0 

`+`(`-`(sqrt(2))) 

1 

16 Решите уравнение diff(f(x), x) = diff(g(x), x), если f(x) = `/`(`*`(`+`(`*`(`^`(x, 3)), 2)), `*`(x)), g(x) = `+`(`*`(6, `*`(x)), `/`(`*`(2), `*`(x))) 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

1 

0 

3 

8 

Ответ иной 

17 Найдите наибольшее значение функции  

А 

Б 

В 

Г 

Д 

Такого значения нет 

1 

2 

3 

4 

Задачи на наибольшее значение 

18 На какие два неотрицательные слагаемые можно разбить число 20, чтобы произведение первого из них на куб второго было наибольшим? 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

20 и 0 

5 и 15 

10 и 10 

15 и 5 

0 и 20 

19 Отрезок длиною 12 см разделили на две части так, что сумма площадей квадратов, построенных на этих частях, стала наименьшей. Вычислите сумму площадей квадратов. 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

27 

32 

25 

72 

144 

Неопределенный интеграл 

20 Укажите первообразную функции  f(x) = `+`(2, `-`(`*`(sin, `*`(x)))) . 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

F(x) = `+`(`*`(2, `*`(x)), `-`(`*`(cos, `*`(x)))) 

F(x) = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(cos, `*`(x))) 

F(x) = `+`(`*`(2, `*`(x)), `*`(cos, `*`(x))) 

F(x) = `+`(2, `*`(cos, `*`(x))) 

Ответ иной 

Определенный интеграл 

21 Вычислите  int(`*`(cos, `*`(x)), x = `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(Pi))) .. Pi) 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

-1 

1 

0 

2 

-2 

22 Найдите первообразную функции f (x) = 2 x + 2, график которой проходит через точку с координатами (1;4). 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

F(x) = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(2, `*`(x))) 

F(x) = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(2, `*`(x)), 1)
F(x) = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(2, `*`(x)), 1) 

F(x) = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(2, `*`(x)), 2)
F(x) = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(2, `*`(x)), 2) 

F(x) = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(2, `*`(x)), `-`(4))
F(x) = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(2, `*`(x)), `-`(4)) 

F(x) = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(2, `*`(x)), `-`(23))
F(x) = `+`(`*`(`^`(x, 2)), `*`(2, `*`(x)), `-`(23)) 

23 Для функции  y = `+`(`*`(2, `*`(cos, `*`(x))))   найдите первообразную, график которой проходит через точку . 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

Y = `+`(`*`(2, `*`(sin, `*`(x))), 24) 

Y = `+`(`*`(2, `*`(sin, `*`(x))), 22) 

Y = `+`(`-`(`*`(2, `*`(sin, `*`(x)))), 26) 

Y = `+`(`*`(2, `*`(cos, `*`(x))), 22) 

Ответ иной 

Площадь ограниченной фигуры 

24 На рисунке изображен график функции у = f(х). Укажите формулу для вычисления площади закрашенной фигуры. 

Image 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

int(f(x), x = -1 .. 1) 

`+`(int(f(x), x = -1 .. 0), `-`(int(f(x), x = 0 .. 1)))
`+`(int(f(x), x = -1 .. 0), `-`(int(f(x), x = 0 .. 1))) 

`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(int(f(x), x = -1 .. 1)))) 

`+`(`*`(2, `*`(int(f(x), x = 0 .. 1)))) 

Ответ иной 

25 Укажите формулу для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y = `*`(`^`(x, 2)) и y = `+`(`-`(`*`(`^`(x, 2))), `*`(4, `*`(x))) 

А 

Б 

В 

Г 

Д 

S = int(`+`(`*`(4, `*`(x))), x = 0 .. 4) 

S = int(`+`(`-`(`*`(2, `*`(`^`(x, 2)))), `*`(4, `*`(x))), x = 0 .. 4)
S = int(`+`(`-`(`*`(2, `*`(`^`(x, 2)))), `*`(4, `*`(x))), x = 0 .. 4) 

S = int(`+`(`*`(2, `*`(`^`(x, 2))), `-`(`*`(4, `*`(x)))), x = 0 .. 2)
S = int(`+`(`*`(2, `*`(`^`(x, 2))), `-`(`*`(4, `*`(x)))), x = 0 .. 2) 

S = int(`+`(`-`(`*`(2, `*`(`^`(x, 2)))), `*`(4, `*`(x))), x = 0 .. 2)
S = int(`+`(`-`(`*`(2, `*`(`^`(x, 2)))), `*`(4, `*`(x))), x = 0 .. 2) 

Ответ иной 

26 При каком  значении a функция  y = `/`(`*`(`^`(2, `+`(`*`(a, `*`(x)), 7))), `*`(`^`(2, `*`(`^`(x, 2)))))  имеет максимум при  x = 4? 

Геометрический смысл производной. Касательная 

27 Функция   y = f(x)   определена  на промежутке (-4;5)  . На рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции y = f(x) , которые наклонены под углом в 45°  к положительному направлению оси абсцисс.    

Image 

Наибольшее значение функции 

28 Найдите наибольшее значение функции  y = `+`(`*`(`^`(x, 3)), `-`(`*`(3, `*`(`^`(x, 2)))), 2) на отрезке [–1;1]. 

29 Функция  y = f (x) определена на промежутке (– 3;  7). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку x[0] , в которой функция   y = f (x)  принимает наибольшее значение. 

Image 

30 Найдите наибольшее значение функции  y = `+`(`/`(`*`(40), `*`(`+`(`^`(2, x), `^`(3, x))))) на промежутке [1; 7]. 

Задачи на наибольшее значение 

Площадь фигуры 

31 Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = `*`(`^`(x, 2)), y = `+`(`*`(2, `*`(x)), `-`(`*`(`^`(x, 2)))) . 

32 Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями  y = `+`(`*`(8, `*`(x)), `-`(`*`(6, `*`(`^`(x, 2))))), x = `/`(1, 2), x = 1, y = 0. 

33 Вычислите площадь фигуры, расположенной в первой координатной четверти и ограниченной линиями  y = `+`(`*`(2, `*`(`^`(x, `/`(1, 3))))), y = x . 

34  Задана функция f(x) = `+`(`*`(`^`(x, 4)), `-`(`*`(2, `*`(`^`(x, 2)))), 2) . Найдите:
а) область определения функции, промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы функции и постройте эскиз её графика;
б) количество корней уравнения f(x) = a, где `in`(a, R), в зависимости от значения параметра  а;
в) все решения уравнения f(x) = a, где `in`(a, R).  

35  Найдите значение функции  f(x) = `^`(10, `+`(`/`(`*`(lg, `*`(`+`(`*`(`^`(x, 3)), `-`(`*`(3, `*`(x)))))), `*`(`+`(x, 5))), `-`(log[.1](`+`(x, 5)))))   в точке максимума.  

36   Стороны прямоугольника равны 2 и 5. Через некоторую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 8. Найдите наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника.